Question

7．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE．
（1）求證：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）在線段AB上找一點(diǎn)P，連結(jié)FP使FP⊥AC，連結(jié)PC，試判定四邊形APCF的形狀，并說明理由，直接寫出此時(shí)線段PF的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)可得到AD=EC，AE=DC，即可證到△DEC≌△EDA（SSS）；
（2）易證AF=CF，設(shè)DF=x，則有AF=4-x，然后在Rt△ADF中運(yùn)用勾股定理就可求出DF的長(zhǎng)．
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠APF=∠AFP根據(jù)等角對(duì)等邊得出AF=AP進(jìn)而得出FC=AP，從而證得四邊形APCF是平行四邊形，又因?yàn)镕P⊥AC證得四邊形APCF為菱形，然后根據(jù)菱形的面積S_菱形=$\frac{1}{2}$PF•AC=AP•AD，即可求得．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵△AEC由△ABC翻折得到，
∴AB=AE，BC=EC，∠CAE=∠CAB，
∴AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，
在△ADE與△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{DE=ED}\\{D=EA}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△EDA（SSS）；
（2）解：如圖1，∵∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF，
設(shè)DF=x，則AF=CF=4-x，
在RT△ADF中，AD²+DF²=AF²，
即3²+x²=（4-x）²，
解得；x=$\frac{7}{8}$，
即DF=$\frac{7}{8}$．
（3）解：四邊形APCF為菱形，
設(shè)AC、FP相較于點(diǎn)O
∵FP⊥AC
∴∠AOF=∠AOP
又∵∠CAE=∠CAB，
∴∠APF=∠AFP
∴AF=AP
∴FC=AP
又∵AB∥CD
∴四邊形APCF是平行四邊形
又∵FP⊥AC
∴四邊形APCF為菱形，
在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，
∴AC=5，
∵S_菱形=$\frac{1}{2}$PF•AC=AP•AD，
∵AP=AF=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$
∴PF=$\frac{2×\frac{25}{8}×3}{5}$=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是明確折疊的性質(zhì)，得到相等的線段，角．