Question

16．如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點(diǎn)P在射線AC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB，垂足為H．
（1）直接寫(xiě)出線段AC、AD及⊙O半徑的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)PH=x，PC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點(diǎn)P在射線AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PH與⊙O相切時(shí)，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求AC的長(zhǎng)度；設(shè)⊙O的半徑為r，則r=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）；根據(jù)圓的切線定理、正方形的判定定理知四邊形CEOF是正方形；然后由正方形的性質(zhì)證得CF=OF=1，則由圖中線段間的和差關(guān)系即可求得AD的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，通過(guò)相似三角形△AHP∽△ACB的對(duì)應(yīng)邊成比例知，$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AC-PC}{AB}$，將“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）分兩種情況，當(dāng)P在線段AC上時(shí)，根據(jù)圓的切線定理證得四邊形OMH′D、四邊形CFOE為正方形；然后利用正方形的性質(zhì)、圓的切線定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；最后將其代入（2）中的函數(shù)關(guān)系式即可求得y值，即PC的長(zhǎng)；當(dāng)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理，利用相似三角形的性質(zhì)求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，同理可求得y值，即PC的長(zhǎng)．

解答 解：（1）AC=4，AD=3，⊙O的半徑長(zhǎng)為1．
（如圖1，連接AO、DO．設(shè)⊙O的半徑為r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
則⊙O的半徑r=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）=$\frac{1}{2}$（4+3-5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切線，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四邊形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切線，
∴AF=AD；
∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3）；
（2）如圖1，若點(diǎn)P在線段AC上時(shí)．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AC-PC}{AB}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{4-y}{5}$，
∴y=-$\frac{5}{3}$x+4，即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=-$\frac{5}{3}$x+4（0≤x≤2.4）；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，如圖2，P′H′與⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四邊形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四邊形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=-$\frac{5}{3}$x+4，
∴y=-$\frac{5}{3}$y+4，
解得y=$\frac{3}{2}$；
②同（2），當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，△AHP∽△ACB，
則$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AC+PC}{AB}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{4+y}{5}$，
∴y=$\frac{5}{3}$x-4，即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=$\frac{5}{3}$x-4（x＞2.4）；
如圖2，當(dāng)P″H″與⊙O相切時(shí)，同①可求得y=1；
綜上可知PC的值為$\frac{3}{2}$或1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的綜合題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓等知識(shí)點(diǎn)．在（2）中注意分兩種情況進(jìn)行討論，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．