Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長線相交于點(diǎn)F．∠F=30°，BF=1，求△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心

專題：

分析：首先求出△AED是等邊三角形，進(jìn)而得出∠DBG=60°，∠DBG=60°，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出DG以及AD的長，進(jìn)而得出AB的長．

解答：解：連接AD，過點(diǎn)D作DG⊥BA于點(diǎn)G，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，則∠CDA=90°，
∵E為AC的中點(diǎn)，
∴DE=AE=EC，
∵∠CAB=90°，∠F=30°，
∴∠AEF=60°，AE=

1

2

EF，
∴△AED是等邊三角形，
∴AD=DE，DE=DF，
∴DF=AD，
則∠DAF=30°，∠DBG=60°，∠DBG=60°，
故設(shè)DG=x，則DF=2x，F(xiàn)G=

3

x，
有BG=

3

x-1，
則tan60°=

DG

BG

=

x

3 x-1

=

3

，
解得：x=

3

2

，
則AD=

3

，故cos30°=

3

AB

，
解得：AB=2．
故△ABC外接圓的半徑為：1．

點(diǎn)評：此題主要考查了三角形外接圓的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出△AED是等邊三角形是解題關(guān)鍵．