Question

如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，此△ABC叫做“黃金三角形”，求證：BC²=CD•CA．

Answer 1

考點：黃金分割

專題：證明題

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計算出圖中所有角的度數(shù)，則得到△DAB和△BDC勾是等腰三角形，再證明△ABC∽△BCD，然后利用相似比易得到結(jié)論．

解答：證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
而∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=

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（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=2∠A=72°，
∴BD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C為公共角，
∴△ABC∽△BCD，
∴BC：CD=AC：BC，
∴BC²=CD•CA．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點；其中AC=

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AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．