Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，直線l與坐標軸相交于點M（3，0），N（0，-4），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過Rt△MON的外心A．
（1）求直線l的解析式；
（2）直接寫出點A坐標及k值；
（3）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上取異于點A的一點B，作BC⊥x軸于點C，連接OB交直線l于點P，若△OMP的面積與△OBC的面積相等，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，把M（3，0），N（0，-4）代入，即可求出k、b，即可得出答案；
（2）求出A為MN的中點，即可得出答案；
（3）設(shè)P點的坐標為（a，$\frac{4}{3}$a-4），分別表示出兩個三角形的面積，即可得出方程，求出a的值，即可得出答案．

解答 解：（1）設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
把M（3，0），N（0，-4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{4}{3}$，b=-4，
所以直線l的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-4；

（2）∵點A是直角三角形NOM的外心，
∴A為MN的中點，
∵M（3，0），N（0，-4），
∴A的坐標為（$\frac{3}{2}$，-2），
把A的坐標代入y=$\frac{k}{x}$得：k=-3；

（3）∵點P在直線l上，且在第四象限，可設(shè)P點的坐標為（a，$\frac{4}{3}$a-4），
∴S_△OMP=$\frac{1}{2}×3×|\frac{4}{3}a-4|$=$\frac{1}{2}$×3×（4-$\frac{4}{3}$a），
∵點B是y=-$\frac{3}{x}$上的點，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$•|k|=$\frac{3}{2}$，
∵△OMP的面積與△OBC的面積相等，
∴$\frac{1}{2}$×3×（4-$\frac{4}{3}$a）=$\frac{3}{2}$，
解得：a=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{4}{3}$a-4=$\frac{4}{3}$×$\frac{9}{4}$-4=-1，
∴P的坐標為（$\frac{9}{4}$，-1）．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積，三角形的外接圓的應(yīng)用，能用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．