Question

7．歸納與猜想：
（1）計(jì)算：
          ①（x-1）（x+1）=x²-1；
          ②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
          ③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
（2）根據(jù)以上結(jié)果，寫出下列各式的結(jié)果．
          ①（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
          ②（x-1）（x⁹+x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x¹⁰-1；
（3）（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x²+x+1）=xⁿ-1（n為整數(shù)）；
（4）若（x-1）•m=x¹⁵-1，則m=x¹⁴+x¹³+x¹²+…+x²+x+1；
（5）根據(jù)猜想的規(guī)律，計(jì)算：2²⁶+2²⁵+…+2+1．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用乘法公式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算結(jié)果的變換規(guī)律進(jìn)行判斷即可；
（3）根據(jù)（1）（2）中的計(jì)算結(jié)果總結(jié)變換規(guī)律即可；
（4）根據(jù)（3）中的規(guī)律，直接求得m的表達(dá)式即可；
（5）根據(jù)（3）中的規(guī)律列出等式進(jìn)行變形，求得2²⁶+2²⁵+…+2+1的值．

解答 解：（1）①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-1=x⁴-1；
（2）①（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
②（x-1）（x⁹+x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x¹⁰-1；
（3）（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x²+x+1）=xⁿ-1（n為整數(shù)）；
（4）∵（x-1）•m=x¹⁵-1，
∴m=x¹⁴+x¹³+x¹²+…+x²+x+1；
（5）∵（2-1）（2²⁶+2²⁵+2²⁴+…+2²+2+1）=2²⁷-1，
∴2²⁶+2²⁵+…+2+1=2²⁷-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．計(jì)算時(shí)按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏．