Question

13．如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D，與直角邊AC相交于E、F兩點，連結(jié)DE，已知∠B=30°，⊙O的半徑為12，弧DE的長為4π，AF=CE，P是邊BC上的動點，連結(jié)AP、DP，則AP+DP的最小值是24$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由弧DE的長度為4π，可以求得∠DOE的度數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì)可求得∠EDA的度數(shù)，即可證明DE∥BC，證得∠DEF=∠C=90°，得出FD是⊙0的直徑，求得∠EFD=$\frac{1}{2}$∠EOD=30°，解直角三角形求得EF=12$\sqrt{3}$，進而求得AE=4$\sqrt{3}$，AD=8$\sqrt{3}$，進一步求得CA=20$\sqrt{3}$，AB=40$\sqrt{3}$，BC=60，根據(jù)三角形相似求得DK，即可求得DD′，解直角三角形求得DH、D′H，最后根據(jù)勾股定理求得AD′．

解答 解：連接OD、OE，
∵AD是⊙O的切線，
∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，
又∵弧DE的長度為4π，
∴4π=$\frac{nπ×12}{180}$，
∴n=60，
∴△ODE是等邊三角形，
∴∠ODE=60°，
∴∠EDA=30°，
∴∠B=∠EDA，
∴DE∥BC．
∴∠DEF=∠C=90°，
∴FD是⊙0的直徑，
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$∠EOD=30°，
∵FD=24，
∴EF=12$\sqrt{3}$，
又∵∠EDA=30°，DE=OE=OD=12，
∴AE=4$\sqrt{3}$，
∴AD=8$\sqrt{3}$，
又∵AF=CE，
∴AE=CF，
∴CA=AE+EF+CF=20$\sqrt{3}$，
∴AB=40$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=60，
作D關(guān)于BC的對稱點D′，DD′交BC于K，連接AD′，交BC于P，此時AP+DP的值最小，等于AD′，
∵∠DEF=∠C=90°，DD′⊥BC，
∴四邊形EDKC是矩形，
∴DD′∥AC，
∴△DBK∽△ABC，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{DK}{AC}$，即$\frac{40\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{40\sqrt{3}}$=$\frac{DK}{20\sqrt{3}}$，
∴DK=16$\sqrt{3}$，
∴DD′=32$\sqrt{3}$，
作D′H⊥AB于H，
∵∠KDB=∠BAC=60°，
∴DH=$\frac{1}{2}$DD′=16$\sqrt{3}$，D′H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DD′=48，
∴AH=8$\sqrt{3}$+16$\sqrt{3}$=24$\sqrt{3}$，
∴AD′=$\sqrt{A{H}^{2}+DH{′}^{2}}$=24$\sqrt{7}$．
故答案為24$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，軸對稱-最短路線問題，解答本題的關(guān)鍵在于90°的圓周角對的弦是直徑這一性質(zhì)的靈活運用．