Question

1．如圖，把Rt△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACF的位置，BD的延長線交CF于點(diǎn)E，連接BC，若∠FBE=∠CBE，試確定CE與BD的關(guān)系．

Answer 1

分析 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ACF≌△ABD，得出CF=BD，∠ACF=∠ABD，由直角三角形的性質(zhì)和對頂角相等得出∠ACF+∠CDE=90°，因此∠CED=90°，CE⊥BD，由ASA證明△BCE≌△BFE，得出對應(yīng)邊相等BC=BF，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出CE=FE=$\frac{1}{2}$CF，即可得出結(jié)論．

解答 解：CE⊥BD，CE=$\frac{1}{2}$BD；理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，
∵∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∵∠CDE=∠ADB，
∴∠ACF+∠CDE=90°，
∴∠CED=90°，
∴CE⊥BD，
即CE⊥BD，
在△BCE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠FBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\\{∠BEC=∠BEF=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴BC=BF，
∴CE=FE=$\frac{1}{2}$CF，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．