Question

4．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，過(guò)C作CD⊥BE于D點(diǎn)，寫(xiě)出AT、CD與BD之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 在BD上截取BF=CD，連接AF、AD，求出∠ACD=∠ABF，由SAS證明△ABF≌△ACD全等，推出AF=AD，證出△FAD是等腰直角三角形，即可得出答案．

解答 解：AT=$\frac{1}{2}$（BD-CD），理由如下：
在BD上截取BF=CD，連接AF、AD，如圖所示：
∵CD⊥BD，
∴∠CDE=∠BAE=90°，
∵∠AEB=∠DEC，∠ABF+∠AEB+∠BAE=180°，∠DCE+∠DEC+∠CDE=180°，
∴∠ABF=∠DCE，
在△ABF和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠ABF=∠ACD}&{\;}\\{BF=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，∠BAF=∠DAC，
∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠DAC+∠FAE=∠FAD=90°，
即△FAD是等腰直角三角形，
∵AT⊥DF，
∴FT=TD，
∴AT=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$（BD-CD）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用；解此題的關(guān)鍵是求出△FAD是等腰直角三角形，題目比較好，有一定的難度．