Question

8．已知拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=-x上的動點(diǎn)，若以點(diǎn)P，Q，C，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過解方程x²-2x-3=0可確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)；通過計算自變量為0時的函數(shù)值可確定C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（t，t²-2t-3），則利用平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=OC=3，PQ∥OC，于是可表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)（t，-t），則|t²-2t-3+t|=3，然后去絕對符號得到兩個關(guān)于t的一元二次方程，解方程求出t即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0）；
當(dāng)x=0時，y=x²-2x-3=-3，則C（0，-3）；
（2）設(shè)P（t，t²-2t-3），如圖，
∵四邊形OCPQ為平行四邊形，
∴PQ=OC=3，PQ∥OC，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（t，-t），
∴|t²-2t-3+t|=3，
當(dāng)t²-2t-3+t=3，解得t₁=3，t₂=-2，
當(dāng)t²-2t-3+t=-3，解得t₁=0（舍去），t₂=1，
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）或（1，-4）或（-2，5）．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．