Question

3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：EO=FO；
（2）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對等邊即可證得OE=OF；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：對角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

解答 （1）證明：∵M(jìn)N∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）解：當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECA+∠ACF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

點(diǎn)評 此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是掌握有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形．