Question

14．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AD⊥BC于E，CF⊥AB于F，交AD于G，BE=3，CE=2，且tan∠OBC=1，求四邊ABDC的面積．

Answer 1

分析 作OM⊥BC于M，由垂徑定理得出BM=CM=2.5，由三角函數(shù)得出OM=BM=2.5，由勾股定理求出OB，作ON⊥AD于N，連接OA，由垂徑定理得出AN=DN=$\frac{1}{2}$AD，ON=EM=0.5，由勾股定理求出AN名即可得出AD，再由AD⊥BC得出四邊ABDC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AD，即可得出結(jié)果．

解答 解：作OM⊥BC于M，如圖所示：
則BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，
∵BE=3，CE=2，
∴BC=5，
∴BM=CM=2.5，
∵tan∠OBC=1，
∴OM=BM=2.5，
∴OB=$\sqrt{O{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∵BE=3，BM=2.5，
∴EM=3-2.5=0.5，
作ON⊥AD于N，連接OA，
則AN=DN=$\frac{1}{2}$AD，ON=EM=0.5，
∵OA=OB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴AN=$\sqrt{O{A}^{2}-O{N}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴AD=2AN=7，
∵AD⊥BC，
∴四邊ABDC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×5×7=$\frac{35}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了垂徑定理、勾股定理的綜合運(yùn)用；由垂徑定理和勾股定理求出半徑是解決問題的突破口．