Question

12．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（0，1）、B（4，3）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，點M是拋物線上的一個動點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出M點的橫坐標(biāo)；
（4）已知點E為拋物線上位于第二象限內(nèi)任一點，且E點橫坐標(biāo)為m，作邊長為10的正方形EFGH，使EF∥x軸，點G在點E的右上方，那么，對于大于或等于-1的任意實數(shù)m，F(xiàn)G邊與過A、B兩點的直線都有交點，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點坐標(biāo)代入解析式即可解決．
（2）如圖作AM⊥OB垂足為M，利用tan∠ABO=$\frac{AM}{BM}$解決．
（3）根據(jù)MN=BC，列出方程即可解決．
（4）如圖只要判斷G_y＞N_y即可．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-16+4b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，所以拋物線解析式為y=-x²+$\frac{9}{2}x$+1．
（2）如圖作AM⊥OB垂足為M，∵直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，直線OB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x，
∴直線AM為y=-2x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x}\\{y=-2x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{11}}\\{y=\frac{3}{11}}\end{array}\right.$，
∴直線點M坐標(biāo)（$\frac{4}{11}$，$\frac{3}{11}$）
∴AM=$\frac{4\sqrt{5}}{11}$   BM=$\frac{50}{11}$
∴tan∠ABO=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．
（3）設(shè)點M坐標(biāo)為（m，-m²+$\frac{9}{2}$m+1），當(dāng)MN∥BC，MN=BC時，M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴|-m²+$\frac{9}{2}$m+1-（$\frac{1}{2}$m+1）|=3，
整理得m²-4m+3=0或m²-4m-3=0，
解得m=1或3或2+$\sqrt{7}$或2-$\sqrt{7}$．
（4）如圖設(shè)FG與直線AB交于點N，
∵點E的橫坐標(biāo)為m，且點E在第二象限，-1＜m＜0，
又∵正方形EFGH的邊長為10，
∴點F的橫坐標(biāo)為a，9＜a＜10，
∵直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴點N的縱坐標(biāo)$\frac{11}{2}$＜N_y＜6，
∵點G的縱坐標(biāo)11＜G_y＜10，
∴G_y＞N_y，
∴對于大于或等于-1的任意實數(shù)m，F(xiàn)G邊與過A、B兩點的直線都有交點．

點評 本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)的定義，正方形的性質(zhì)等知識，學(xué)會用字母m表示相應(yīng)的點的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵，是數(shù)形結(jié)合的一個好題目，屬于中考壓軸題．