Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落到AD上的點(diǎn)B₁處得△A₁B₁C，點(diǎn)E是AB₁的中點(diǎn)，連接A₁E，求證：
（1）∠B₁CB=60°；
（2）A₁E∥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接BB₁，如圖，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明AD垂直平分BC，得到B₁B=B₁C，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CB₁=CB，于是可證明△B₁BC為等邊三角形，
然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠B₁CB=60°；
（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A₁CA=∠B₁CB=60°，CA₁=CA，AB=A₁B₁，則可判斷△AA₁C為等邊三角形，得到CA=AA₁，加上AB=AC，所以AA₁=A₁B₁，由于點(diǎn)E是AB₁的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到A₁E⊥AB₁，然后利用平行線的性質(zhì)可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）連接BB₁，如圖，
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴B₁B=B₁C，
∴△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落到AD上的點(diǎn)B₁處得△A₁B₁C，
∴CB₁=CB，
∴B₁B=B₁C=BC，
∴△B₁BC為等邊三角形，
∴∠B₁CB=60°；
（2）∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落到AD上的點(diǎn)B₁處得△A₁B₁C，
∴∠A₁CA=∠B₁CB=60°，CA₁=CA，AB=A₁B₁，
∴△AA₁C為等邊三角形，
∴CA=AA₁，
而AB=AC，
∴AA₁=A₁B₁，
而點(diǎn)E是AB₁的中點(diǎn)，
∴A₁E⊥AB₁，
∵BC⊥AD，
∴A₁E∥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．