Question

如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為2cm和4cm，有大圓上一點(diǎn)A作小圓的兩條切線AB、AC，切點(diǎn)為B、C，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：作輔助線，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊角關(guān)系求出圓心角∠BOC，進(jìn)而求出由優(yōu)弧

BmC

所圍成的扇形面積；求出四邊形ABOC的面積問(wèn)題即可解決．

解答：解：如圖，連接OA、OB、OC；   
∵AB、AC分別是小⊙O的切線，
∴OB⊥AB，OC⊥AC；
又∵OB=2cm，OA=4cm，
∴OB=

1

2

OA，
∴∠BAO=30°，∠AOB=90°-30°=60°；
同理可證∠AOC=60°；
∴優(yōu)弧

BmC

的度數(shù)=360°-120°=240°；
設(shè)由優(yōu)弧

BmC

，半徑OB、OC所圍成的扇形的面積為S；
則S=

120π×2

360

=

2π

3

（cm²）；
在△AOB與△AOC中，
∵

∠AOB=∠AOC ∠ABO=∠ACO OA=OA

，
∴△AOB≌△AOC（AAS），
∴S_{四邊形ABOC}=2S_△AOB；
由勾股定理得：AB=

42-22

=

12

=2

3

，
∴S△AOB=

1

2

AB•OB=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
∴圖中陰影部分的面積
=

2π

3

+2×2

3

=

2π

3

+4

3

（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了圓的切線的性質(zhì)定理及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作出輔助線，靈活運(yùn)用扇形的面積公式及三角形的面積公式來(lái)解題．