Question

9．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=8cm，點E，F(xiàn)分別在$\widehat{AB}$，$\widehat{BC}$上，∠ABC=60°．
（1）分別求出∠BDC和∠BEC的度數(shù)；
（2）若OF⊥BC于點F，求OF及OD的長度．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的小豬豬即可得到結論；
（2）連接OA、OB，根據(jù)△ABC是等邊三角形 且 OF⊥BC，得到A、O、F三點共線  即AF⊥BC，得到∠BAF=30°，解直角三角形得到BF=4cm，AF=4$\sqrt{3}$（cm），根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=8cm，
∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠BDC=∠BAC=60°，
∴∠BEC=120°；

（2）連接OA、OB，
∵△ABC是等邊三角形 且 OF⊥BC，
∴A、O、F三點共線  即AF⊥BC，
又∵△ABC內(nèi)接于⊙O，
∴OD=OA=OB，
∴在Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=4cm，AF=4$\sqrt{3}$（cm），
設OF=x  則OB=OA=4$\sqrt{3}$-x，
在Rt△OBF中，根據(jù)勾股定理，知
OF²+BF²=OB²，
即x²+4²=（4$\sqrt{3}$-x）²，
解這個方程，得 x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ （cm），OB=4$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$ （cm），OD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$ （cm）．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握各定理是解題的關鍵．