Question

17．如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD中BC和CD邊上的點(diǎn)，且AB=4，CE=$\frac{1}{4}$BC，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接AF，AE，求證：∠AFE=90°．

Answer 1

分析 先依據(jù)正方形的性質(zhì)可知AD=AB=BC=CD=4，接下來(lái)求得EC、DF的長(zhǎng)，于是可得到$\frac{DF}{AD}=\frac{EC}{CF}=\frac{1}{2}$，依據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似可證明△FEC∽△AFD，由相似三角形的性質(zhì)可知∠EFC=∠FAD，最后證明∠DFA+∠EFC=90°，從而可得到∠AFE=90°．

解答 證明：如圖所示：

∵ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4．
∵CE=$\frac{1}{4}$BC，
∴CE=1．
∵F是DC的中點(diǎn)，
∴DF=2．
∴$\frac{DF}{AD}=\frac{EC}{CF}=\frac{1}{2}$．
又∵∠C=∠D，
∴△FEC∽△AFD．
∴∠EFC=∠FAD．
∵∠FAD+∠DFA=90°，
∴∠DFA+∠EFC=90°．
∴∠AFE=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)，證得∠EFC=∠FAD是解題的關(guān)鍵．