Question

11．在等邊△ABC外側(cè)作直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為D，連接BD，CD，其中CD交直線AP于點E．
（1）依題意補全圖1；
（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度數(shù)；
（3）如圖2，若60°＜∠PAB＜120°，判斷由線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個含有多少度角的三角形，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作出圖形；
（2）根據(jù)題意可得∠DAP=∠BAP=30°，然后根據(jù)AB=AC，∠BAC=60°，得出AD=AC，∠DAC=120°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求解；
（3）由線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個含有60度角的三角形，連接AD，EB，根據(jù)對稱可得∠EDA=∠EBA，然后證得AD=AC，最后即可得出∠BAC=∠BEC=60°．

解答 解：（1）所作圖形如圖1所示：

（2）連接AD，如圖1．
∵點D與點B關(guān)于直線AP對稱，
∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=30°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴AD=AC，∠DAC=120°，
∴2∠ACE+60°+60°=180°，
∴∠ACE=30°；

（3）線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個含有60°角的三角形．
證明：連接AD，EB，如圖2．
∵點D與點B關(guān)于直線AP對稱，
∴AD=AB，DE=BE，
∴∠EDA=∠EBA，
∵AB=AC，AB=AD，
∴AD=AC，
∴∠ADE=∠ACE，
∴∠ABE=∠ACE．
設(shè)AC，BE交于點F，
又∵∠AFB=∠CFE，
∴∠BAC=∠BEC=60°，
∴線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個含有60°角的三角形．

點評 本題考查了根據(jù)軸對稱變換作圖以及等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出對應點的位置以及掌握等腰三角形的性質(zhì)．