Question

6．已知：關(guān)于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是整數(shù)）．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義得k≠0，再計(jì)算判別式得到△=（2k-1）²，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即k的取值得到△＞0，則可根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；
（2）根據(jù)求根公式求出方程的根，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求出k的值．

解答 （1）證明：∵方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0，
∴△=（-4k-1）²-4k（3k+3）=4k²-4k+1=（2k-1）²，
∵kx²-（4k+1）x+3k+3=0是一元二次方程，k是整數(shù)，
∴k≠0，k≠$\frac{1}{2}$，
∴△=（2k-1）²＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0，
∴a=k，b=-（4k+1），c=3k+3，
∵運(yùn)用公式法解方程可知道此方程的根為x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{（4k+1）±\sqrt{（2k-1）^{2}}}{2k}$，
∴此方程的兩個(gè)根分別為x₁=3，x₂=1+$\frac{1}{k}$，
∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，k是整數(shù)，
∴k=1或k=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根的判別式的知識(shí)，熟知一元二次方程的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵，此題難度不大．