Question

5．如圖，△ABC中，BC=2AB，點D、E分別是BC、AC的中點，過點A作AF∥BC交線段DE的延長線于點F，取AF的中點G，聯(lián)結DG，GD與AE交于點H．
（1）求證：四邊形ABDF是菱形；
（2）求證：DH²=HE•HC．

Answer 1

分析 （1）首先根據三角形的中位線定理，得DE∥AB，結合AF∥BC，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判斷該四邊形是平行四邊形，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；
（2）根據菱形的性質可以進一步得到△FGD≌△FEA，則GD=AE，然后通過證明三角形相似，即可得到結論．

解答 （1）證明：∵點D、E分別是BC、AC的中點
∴DE∥AB，BC=2BD，
∵AF∥BC，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∵BC=2AB，
∴AB=BD，
∴四邊形ABDF是菱形；

（2）證明：∵四邊形ABDF是菱形，
∴AF=DF，
∵點G是AF的中點，
∴FG=$\frac{1}{2}$AF，
∵點E是AC的中點，
∴AE=CE，
∵AF∥BC，
∴$\frac{EF}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$=1，
∴EF=$\frac{1}{2}$DF，
∴FG=EF，
在△AFE和△DFG中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DF}\\{∠F=∠F}\\{EF=GF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DFG，
∴∠FAE=∠FDG，
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠C，
∴∠FDG=∠C，
又∵∠EHD=∠DHC，
∴△HED∽△HDC，
∴$\frac{HE}{HD}$=$\frac{HD}{HC}$，
∴DH²=HE•HC．

點評 本題考查了三角形的中位線定理、菱形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，熟記定理是解題的關鍵．