Question

15．如圖，四邊形ABCD中，已知∠A=∠C=30°，∠D=60°，AD=8，CD=10．
（1）求AB、BC的長；
（2）已知，半徑為1的⊙P在四邊形ABCD的外面沿各邊滾動（無滑動）一周，求⊙P在整個(gè)滾動過程中所覆蓋部分圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）延長AB交CD于E，先求出∠AED=90°，得出∠CEB=90°，運(yùn)用三角函數(shù)得出DE、AE，求出CE，即可得出BC、BE、AB；
（2）根據(jù)題意得出：∠1=120°，∠2=∠3=150°，∠4=∠5=60°，HF=HG=2，運(yùn)用三角函數(shù)得出BF=BG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，⊙P在整個(gè)滾動過程中所覆蓋部分圖形的面積=4個(gè)矩形的面積+2個(gè)三角形的面積+3個(gè)扇形的面積，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）延長AB交CD于E，如圖1所示：
則∠AED=180°-∠A-∠D=180°-30°-60°=90°，
∴∠CEB=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=4，AE=AD•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴CE=CD-DE=6，
∴BC=$\frac{CE}{cos30°}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴AB=AE-BE=$2\sqrt{3}$；
（2）半徑為1的⊙P在四邊形ABCD的外面沿各邊滾動（無滑動）一周，如圖2所示：
根據(jù)題意得：∠1=120°，∠2=∠3=150°，∠4=∠5=60°，HF=HG=2，
∴BF=BG=$\frac{HF}{tan60°}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=4$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，AG=2$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴⊙P在整個(gè)滾動過程中所覆蓋部分圖形的面積
=8×2+10×2+$\frac{10\sqrt{3}}{3}$×2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×2+$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×2×2+$\frac{120+150+150}{360}π×{2}^{2}$
=36+$\frac{32\sqrt{3}}{3}$$+\frac{14π}{3}$．

點(diǎn)評 本題是圓的綜合題目，考查了直角三角形的判定、三角函數(shù)、扇形面積、矩形面積以及三角形面積的計(jì)算等知識；本題有一定難度，綜合性強(qiáng)，特別是（2）中，得出⊙P在整個(gè)滾動過程中所覆蓋部分圖形的面積=4個(gè)矩形的面積+2個(gè)三角形的面積+3個(gè)扇形的面積是解決問題的關(guān)鍵．