Question

10．在邊長為2的正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，另一個正方形OHIG繞點O旋轉(zhuǎn)（如圖），設(shè)OH與邊BC交于點E（與點B、C不重合），OG與邊CD交于點F．
（1）求證：BE=CF；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形OECF的面積是否會變化？若沒有變化，求它的面積；若有變化，請簡要說明理由；
（3）聯(lián)結(jié)EF交對角線AC于點K，當(dāng)△OEK是等腰三角形時，求∠DOF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得到OB=OC∠BOC=90°，∠OBE=∠OCF=45°，根據(jù)四邊形OHIG是正方形，得到∠GOH=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BOE=∠COF，推出△BOE≌△COF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S_{四邊形OECF}=S_△BOC，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論得到△OEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠OEK=45°當(dāng)OE=OK，當(dāng)KE=KO，當(dāng)EO=EK，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC∠BOC=90°，
∠OBE=∠OCF=45°，
∵四邊形OHIG是正方形，
∴∠GOH=90°，
∴∠EOC+∠COF=90°，
∵∠EOC+∠BOE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中∠$\left\{\begin{array}{l}∠OBE=∠OCF\\ OB=OC\\∠BOE=∠COF\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE=CF；

（2）四邊形OECF的面積沒有變化，
由（1）得：△BOE≌△COF
∴S_{四邊形OECF}=S_△OEC+S_△COF=S_△OEC+S_△BOE=S_△BOC，
易知：S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，
∵S_{四邊形ABCD}=2²=4，
∴S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_△BOC=$\frac{1}{4}$×4=1，
即：四邊形OECF的面積沒有變化；

（3）連接EF交AC于K，
由（1）得：∠EOK=∠DOF，OE=OF，
又∠GOH=90°，即△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEK=45°，
當(dāng)OE=OK，顯然不成立；
當(dāng)KE=KO，即∠KEO=∠EOK=∠DOF=45°，
當(dāng)EO=EK，即∠DOF=∠EOK=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
故當(dāng)△OEK是等腰三角形時，∠DOF的度數(shù)是45°或67.5°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，證得BE=CF是解題的關(guān)鍵．