Question

16．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作FE⊥AB于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF與⊙O相切；
（2）若⊙O的半徑為5，DE=4，求EB的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD、OD，如圖，根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，則OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AB，加上EF⊥AC，于是OD⊥EF，然后根據(jù)切線的判定定理得EF是⊙O的切線；
（2）先由OD∥AC，得到OF與FD的關(guān)系，根據(jù)勾股定理求出DF，OF，再用OD∥AE，得出$\frac{OD}{AE}=\frac{OF}{AF}$，求出即可．

解答 解：（1）證明：連結(jié)AD、OD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OC，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AB，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切線；

（2）連接OD，AD

∵OD∥AE，
∴$\frac{OF}{OA}=\frac{FD}{DE}$，
即$\frac{OF}{5}=\frac{FD}{4}$，
設(shè)OF=5x，F(xiàn)D=4x，
在Rt△ODF中，OD=5，
∴OF²=FD²+25，
∴25x²=16x²+25，
∴x=$\frac{5}{3}$或x=-$\frac{5}{3}$（舍），
∴OF=$\frac{25}{3}$，F(xiàn)D=$\frac{20}{3}$，
∵OD∥AE，
∴$\frac{OD}{AE}=\frac{OF}{AF}$，
∴$\frac{5}{AE}=\frac{\frac{25}{3}}{5+\frac{25}{3}}$，
∴AE=8，
∴EB=AB-AE=AC-AE=10-8=2

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．