Question

6．如圖，已知兩條射線PQ∥MN，線段AB的兩個端點A、B分別在射線PQ、MN上，且∠M=∠ABM=72°，D在線段MB上（點D不與M、B重合），PB平分∠APD，PC平分∠MPD．
（1）求∠BPC的大��；
（2）若平行移動線AB，那么$\frac{∠PBM}{∠PDM}$的值是否隨著AB位置的變化而發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個比值；
（3）在平行移動線段AB的過程中，是否存在某些位置，使∠ABP＜$\frac{1}{2}$＜∠PCM？若存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠MPA=180°-∠M=108°，再利用角平分線的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可求出∠BPC的度數(shù)；
（2）由PQ∥MN得到∠5=∠1，則∠2=∠5，再利用三角形外角性質(zhì)得到∠6=∠2+∠5，所以∠6=2∠5；
（3）由三角形外角性質(zhì)得∠PCM=∠BPC+∠5=54°+∠5，加上∠ABP=72°-∠5，若∠ABP＜$\frac{1}{2}$∠PCM，則72°-∠5＜$\frac{1}{2}$（54°+∠5），可解得∠5＞30°，于是可判斷當(dāng)30°＜∠PBM＜72°時，∠ABP＜$\frac{1}{2}$＜∠PCM．

解答 解：（1）∵PQ∥MN，
∴∠MPA=180°-∠M=180°-72°=108°，
∵PB平分∠APD，PC平分∠MPD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}∠$APD+$\frac{1}{2}∠$MPD=$\frac{1}{2}∠$MPA=54°，
即∠BPC=54°；
（2）不變．
∵PQ∥MN，
∴∠5=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠5，
∵∠6=∠2+∠5，
∴∠6=2∠5，
∴$\frac{∠PBM}{∠PDM}$=$\frac{1}{2}$；
（3）存在．
∵∠PCM=∠BPC+∠5=54°+∠5，
∠ABP=72°-∠5，
而∠ABP＜$\frac{1}{2}$∠PCM，
∴72°-∠5＜$\frac{1}{2}$（54°+∠5），
∴∠5＞30°，
即在平行移動線段AB的過程中，當(dāng)30°＜∠PBM＜72°時，∠ABP＜$\frac{1}{2}$＜∠PCM．

點評 本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．也考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)．