Question

14．如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)A，C分別在x軸上，y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，2），D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，把△OCD沿OD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，形成如圖四種情形．

（1）如圖丁，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）現(xiàn)有直線y=kx+2$\sqrt{2}$，觀察點(diǎn)D從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P所形成的運(yùn)動(dòng)路徑圖形，當(dāng)直線y=kx+2$\sqrt{2}$與點(diǎn)P所形成的運(yùn)動(dòng)路徑圖形有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍？

Answer 1

分析 （1）首先設(shè)BP與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E，再根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△OPE≌△BAE；然后設(shè)OE=x，則BE=x，AE=4-x，求出OE、PE的值各是多少；最后根據(jù)RT△OPE中，OE-PF=OP-PE，求出PF的值是多少；再根據(jù)△OPF∽△OEP，得$\frac{PF}{OF}=\frac{PE}{OP}$，求出OF的值是多少，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．
（2）點(diǎn)D從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P所形成的運(yùn)動(dòng)路徑圖形是以O(shè)為圓心，2為半徑的弧，其中P₂點(diǎn)坐標(biāo)即第（1）步中的P點(diǎn)坐標(biāo)，即${P}_{2}（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$；點(diǎn)P₁即直線y=kx+2$\sqrt{2}$與弧相切的切點(diǎn)，連結(jié)OP₁，過P₁作P₁H⊥x軸，OK=2$\sqrt{2}$，OP₁=2，求出P₁的坐標(biāo)，再把P₁、P₂的坐標(biāo)分別代入y=kx+2$\sqrt{2}$，求出k₁、k₂的值，判斷出k的取值范圍即可．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)BP與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E，
∵OP=BA，∠BAE=∠OPE，∠BEA=∠OEP，
∴△OPE≌△BAE．
設(shè)OE=x，則BE=x，AE=4-x，
根據(jù)AE²+AB²=BE²，
可得（4-x）²+2²=x²，
解得x=$\frac{5}{2}$，
∴OE=$\frac{5}{2}$，PE²=OE²-OP²，∴PE=$\frac{3}{2}$．
RT△OPE中，OE•PF=OP•PE，
即$\frac{5}{2}×PF=2×\frac{3}{2}$，
∴PF=2×$\frac{3}{2}÷\frac{5}{2}$
=3$÷\frac{5}{2}$
=$\frac{6}{5}$．
根據(jù)△OPF∽△OEP，得$\frac{PF}{OF}=\frac{PE}{OP}$，
即$\frac{\frac{6}{5}}{OF}=\frac{\frac{3}{2}}{2}$，
所以O(shè)F=$\frac{6}{5}×2÷\frac{3}{2}$
=$\frac{12}{5}×\frac{2}{3}$
=$\frac{8}{5}$，
∴P（$\frac{8}{5}$，$-\frac{6}{5}$）．

（2）如圖2，點(diǎn)D從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P所形成的運(yùn)動(dòng)路徑圖形是以O(shè)為圓心，2為半徑的弧，，
其中P₂點(diǎn)坐標(biāo)即第（1）步中的P點(diǎn)坐標(biāo)，即${P}_{2}（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$．
點(diǎn)P₁即直線y=kx+2$\sqrt{2}$與弧相切的切點(diǎn)，連結(jié)OP₁，過P₁作P₁H⊥x軸，OK=2$\sqrt{2}$，OP₁=2，
∴∠COP₁=45°，∠OP₁H=45°，OH=P₁H=$\sqrt{2}$．
∴${P}_{1}（\sqrt{2}，\sqrt{2}）$．
把${P}_{1}（\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，${P}_{2}（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$分別代入y=kx+2$\sqrt{2}$，
解得k₁=-1，${k}_{2}=-\frac{3}{4}-\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
∴-$\frac{3}{4}$-$\frac{5\sqrt{2}}{4}$≤k＜-1．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力；
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的判斷，要熟練掌握．