Question

3．求所有的質(zhì)數(shù)p，使4p²+1和6p²+1都是質(zhì)數(shù)．

Answer 1

分析 分p=5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（k為正整數(shù)）討論，根據(jù)p、4p²+1和6p²+1都是質(zhì)數(shù)找出符合題意p的值，綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：分p=5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（k為正整數(shù)）討論．
當(dāng)p=5k時(shí)，只有k=1，p=5時(shí)，為質(zhì)數(shù)，
此時(shí)4p²+1=4×25+1=101為質(zhì)數(shù)，6p²+1=6×25+1=151也為質(zhì)數(shù)；
當(dāng)p=5k+1時(shí)，4p²+1=4×（5k+1）²+1=100k²+40k+5=5（20k²+8k+1）能被5整除，
∴p=5k+1不合適；
當(dāng)p=5k+2時(shí)，6p²+1=6×（5k+2）²+1=150k²+120k+25=5（30k²+24k+5）能被5整除，
∴p=5k+2不合適；
當(dāng)p=5k+3時(shí)，6p²+1=6×（5k+3）²+1=150k²+180k+55=5（30k²+36k+11）能被5整除，
∴p=5k+3不合適；
當(dāng)p=5k+4時(shí)，4p²+1=4×（5k+4）²+1=100k²+160k+65=5（20k²+32k+13）能被5整除，
∴p=5k+4不合適．
綜上可知：當(dāng)p=5時(shí)，4p²+1和6p²+1都是質(zhì)數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)，分p=5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（k為正整數(shù)）五種情況討論是解題的關(guān)鍵．