Question

9．如圖．點(diǎn)A（3，1），B（-1，n）是一次函數(shù)y₁=ax+b和反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$圖象的交點(diǎn)．
（1）求兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）觀察圖象直接寫出y₁≥y₂時(shí)自變量x的取值范圍；
（3）在平面內(nèi)求點(diǎn)M，使△AOM是以O(shè)A為直角邊的等腰直角三角形，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)關(guān)系式即可求出k值，從而得出反比例函數(shù)關(guān)系式；將B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)關(guān)系式即可求出n值，結(jié)合A、B點(diǎn)坐標(biāo)即可求出一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象，找到x在什么范圍內(nèi)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方即可；
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n）．由兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于m、n的二元二次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（3，1）代入到反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$中得：1=$\frac{k}{3}$，
解得：k=3，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y₂=$\frac{3}{x}$．
將點(diǎn)B（-1，n）代入到y(tǒng)₂=$\frac{3}{x}$中得：n=$\frac{3}{-1}$=-3，
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-3）．
將點(diǎn)A（3，1）、點(diǎn)B（-1，-3）代入到y(tǒng)₁=ax+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{1=3a+b}\\{-3=-a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)表達(dá)式為y₁=x-2．
（2）當(dāng)-1＜x＜0和x＞3時(shí)，y₁的圖象在y₂的上方，
∴y₁≥y₂時(shí)自變量x的取值范圍為-1≤x＜0和x≥3．
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n）．
則OA=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AM=$\sqrt{（m-3）^{2}+（n-1）^{2}}$，OM=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$．
當(dāng)∠MAO=90°時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{AO=AM}\\{O{M}^{2}=A{O}^{2}+A{M}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{10}=\sqrt{（m-3）^{2}+（n-1）^{2}}}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=10+（m-3）^{2}+（n-1）^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，4）或（4，-2）；
當(dāng)∠MOA=90°時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{OM=OA}\\{A{M}^{2}=O{M}^{2}+O{A}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{10}=\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}\\{（m-3）^{2}+（n-1）^{2}=10+{m}^{2}+{n}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-3）或（-1，3）．
綜上可知：使△AOM是以O(shè)A為直角邊的等腰直角三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，4）、（4，-2）、（1，-3）或（-1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理以及解二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；（2）結(jié)合函數(shù)圖象解決不等式的解；（3）結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即勾股定理得出關(guān)于m、n的二元二次方程組．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（3）有點(diǎn)難度，很多同學(xué)在解決該問(wèn)中只考慮了一種情況，易造成失分，故在日常學(xué)習(xí)中，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)該類題型的練習(xí)．