Question

8．求滿足“三角形的三邊長為整數(shù)且三角形的內(nèi)切圓半徑為2”的所有的三角形的三邊．

Answer 1

分析 設(shè)直角三角形的三邊長分別為a，b，c，其中c為斜邊，于是得到直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r=$\frac{a+b-c}{2}$=2，得到a+b=c+4根據(jù)勾股定理得到a²+b²=（a+b-4）²，推出$\left\{\begin{array}{l}{a-4=1}\\{b-4=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-4=2}\\{b-4=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=12}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=8}\end{array}\right.$，于是得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)直角三角形的三邊長分別為a，b，c，其中c為斜邊，
∴直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r=$\frac{a+b-c}{2}$=2，
∴a+b=c+4，
∵a²+b²=c²，
∴a²+b²=（a+b-4）²，
即ab-4（a+b）+8=0，
∴（a-4）（b-6）=8，
∵三邊長為整數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-4=1}\\{b-4=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-4=2}\\{b-4=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=12}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=8}\end{array}\right.$，
①當(dāng)直角三角形的直角邊為5，12時，斜邊為13，
②當(dāng)直角三角形的直角邊為6，8時，斜邊為10，
綜上所述：三角形的三邊為：5，12，13或6，8，10．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．