Question

3．已知正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象交于點A，過點A作x軸的垂線，垂足為點P，已知△OAP的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）有一點B的橫坐標為2，且在反比例函數(shù)圖象上，在x軸上存在一點M，使MA+MB最小，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）設出A點的坐標，根據(jù)△OAP的面積為1，求出xy的值，得到反比例函數(shù)的解析式；
（2）作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，交x軸于點M，得到MA+MB最小時，點M的位置，求出直線A′B的解析式，得到它與x軸的交點，即點M的坐標．

解答 解：（1）設A點的坐標為（x，y），則OP=x，PA=y，
∵△OAP的面積為1，∴$\frac{1}{2}$xy=1，xy=2，即k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{2}{x}$．
（2）作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，交x軸于點M，MA+MB最小，

點B的橫坐標為2，點B的縱坐標為y=$\frac{2}{2}$=1，
兩個函數(shù)圖象在第一象限的圖象交于A點，
2x=$\frac{2}{x}$，x±1，y=±2，
A點的坐標（1，2），
A關于x軸的對稱點A′（1，-2），
設直線A′B的解析式為y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-2}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
直線y=3x-5與x軸的交點為（$\frac{5}{3}$，0），
則M點的坐標為（$\frac{5}{3}$，0）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題以及最短路線問題，解題的關鍵是確定MA+MB最小時，點M的位置，靈活運用數(shù)形結合思想求出有關點的坐標和圖象的解析式路線解答．