Question

14．生活中我們經(jīng)常用到密碼，例如支付寶支付時．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個多項式分解因式，如多項式：x³+2x²-x-2可以因式分解為（x-1）（x+1）（x+2），當(dāng)x=29時，x-1=28，x+1=30，x+2=31，此時可以得到數(shù)字密碼283031．
（1）根據(jù)上述方法，當(dāng)x=15，y=5時，對于多項式x³-xy²分解因式后可以形成哪些數(shù)字密碼？
（2）已知一個直角三角形的周長是24，斜邊長為11，其中兩條直角邊分別為x、y，求出一個由多項式x³y+xy³分解因式后得到的密碼（只需一個即可）．

Answer 1

分析 （1）先分解因式得到x³-xy²=x（x-y）（x+y），然后利用題中設(shè)計密碼的方法寫出所有可能的密碼；
（2）利用勾股定理和周長得到x+y=13，x²+y²=121，再利用完全平方公式可計算出xy=24，然后與（1）小題的解決方法一樣．

解答 解：（1）x³-xy²=x（x-y）（x+y），
當(dāng)x=15，y=5時，x-y=10，x+y=20，
可得數(shù)字密碼是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015；
（2）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}x+y=13\\{x^2}+{y^2}=121\end{array}\right.$解得xy=24，
而x³y+xy³=xy（x²+y²），
所以可得數(shù)字密碼為24121．

點評 本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計算問題；考查了用類比的方法解決問題；（2）小題中計算出xy的值為解決問題的關(guān)鍵．