Question

3．如圖1，已知長方形ABCD，AB=CD，BC=AD，P為長方形ABCD上的動點，動點P從A出發(fā)，沿著A-B-C-D運動到D點停止，速度為1cm/s，設(shè)點P用的時間為x秒，△APD的面積為ycm²，y和x的關(guān)系如圖2所示，
（1）求當(dāng)x=3和x=9時，點P走過的路程是多少？
（2）求當(dāng)x=2，對應(yīng)y的值；并寫出0≤x≤3時，y與x之間的關(guān)系式；
（3）當(dāng)y=3時，求x的值；
（4）當(dāng)P在線段BC上運動時，是否存在點P使得△APD的周長最小？若存在，求出此時∠APD的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）從圖2中看，0≤x≤3時面積越來越大，從3到9面積不變；結(jié)合圖1可知，當(dāng)點P在線段AB上運動時，△APD的面積會越來越大，點P在BC上時，△APD的面積不變，由此可知：AB=3，AB+BC=9，直接寫出當(dāng)x=3和x=9時，點P走過的路程；
（2）當(dāng)x=2，即AP=2，高仍然為6，此時△APD的面積即為y；在由圖2利用待定系數(shù)法求出當(dāng)0≤x≤3時，y與x之間的關(guān)系式，或由圖1，AP=t，利用面積公式求也可以；
（3）由圖2知，當(dāng)y=3時有兩種情況，畫圖進行討論即可；
（4）作A關(guān)于直線BC的對稱點A′，連接A′D與BC交于點P，根據(jù)兩邊之和大于第三邊可知A′D最小，即△APD的周長最小，求出∠APD=∠A′+∠BAP=90°．

解答 解：（1）由題意得：AB=3，AB+BC=9，
∴當(dāng)x=3時，點P所走的路程為：AB=3，
當(dāng)x=9時，點P所走的路程為：AB+BC=9，
（2）如圖3，當(dāng)x=3時，點P與B重合，
y=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$×3×6=9，
∴E（3，9），
如圖4，當(dāng)x=2時，AP=2，則y=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$×2×6=6，
如圖2，設(shè)直線OE的解析式為：y=kx，
把E（3，9）代入得：9=3k，
k=3，
y=3x，
∴當(dāng)0≤x≤3時，y與x之間的關(guān)系式：y=3x；
（3）分兩種情況：
①當(dāng)P在AB上時，如圖2，當(dāng)y=3時，3=3x，x=1，
②當(dāng)P在CD上時，如圖5，則AB+BC+CP=t，
∴PD=3+3+6-t=12-t，
∴y=$\frac{1}{2}$PD•AD=$\frac{1}{2}$×6×（12-t）=3（12-t），
當(dāng)y=3時，3=3（12-t），
t=11，
綜上所述，當(dāng)y=3時，x的值是1秒或11秒；
（4）存在，如圖6，延長AB至A′，使AB=A′B，連接A′D，交BC于P，連接AP，
此時△APD的周長最小，
∴AA′=AB+BA′=3+3=6，
∴AD=AA′=6，
∴△A′AD是等腰直角三角形，
∴∠A′=45°，
∵∠ABC=90°，
∴BP是AA′的中垂線，
∴AP=PA′，
∴∠A′=∠BAP=45°，
∴∠APD=∠A′+∠BAP=90°．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形、軸對稱的性質(zhì)，此題動點運動路線與三角形面積和函數(shù)圖象相結(jié)合，理解函數(shù)圖象的實際意義是本題的關(guān)鍵，根據(jù)圖象的變化特征確定其點p的位置，從而得出結(jié)論．