Question

3．如圖，直線y=kx+b與雙曲線y=$\frac{m}{x}$交于點A（n，-2），B（2，1）．
（1）求雙曲線及直線的解析式；
（2）已知P（a-1，a）在雙曲線上，求P點的坐標(biāo)；
（3）若$\frac{m}{x}$＜kx+b時，x的取值范圍為-1＜x＜0或x＞2；
（4）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由點B的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出雙曲線的解析式，進而可求出點A的坐標(biāo)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；
（2）將點P的坐標(biāo)代入雙曲線解析式中即可而得出關(guān)于a的分式方程，解方程即可求出a的值，將其代入點P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可得出不等式的解集；
（4）令直線AB與x軸的交點為C，根據(jù)三角形的面積公式即可求出△AOB的面積．

解答 解：（1）∵點B（2，1）在雙曲線y=$\frac{m}{x}$上，
∴1=$\frac{m}{2}$，解得：m=2，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{2}{x}$．
∵點A（n，-2）在雙曲線y=$\frac{2}{x}$上，
∴-2=$\frac{2}{n}$，解得：n=-1，
∴A（-1，-2）．
將點A（-1，-2）、B（2，1）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=-k+b}\\{1=2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線的解析式為y=x-1．
（2）∵點P（a-1，a）在雙曲線y=$\frac{2}{x}$上，
∴a=$\frac{2}{a-1}$，解得：a=-1或a=2，
經(jīng)檢驗：a=-1和a=2都是分式方程a=$\frac{2}{a-1}$的解，
∴點P的坐標(biāo)為（-2，-1）或（1，2）．
（3）觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)-1＜x＜0或x＞2時，一次函數(shù)圖象在雙曲線的下方，
∴不等式$\frac{m}{x}$＜kx+b的解集為：-1＜x＜0或x＞2．
故答案為：-1＜x＜0或x＞2．
（4）如圖，

令直線AB與x軸的交點為C，
將y=0代入y=x-1中，得x=1，
∴C（1，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC•（y_B-y_A）=$\frac{1}{2}$×1×[1-（-2）]=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點的問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）由反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得出關(guān)于a的分式方程；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解決不等式；（4）將△AOB分成△AOC和△BOC．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點的坐標(biāo)求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．