Question

10．如圖，拋物線y=ax²+3（a-1）x（a＞0）經(jīng)過點A（-3，m），過點A作直線l平行于x軸與拋物線交于另一點B，在x軸上取點Q，連接BQ，使得∠QBO=∠ABO，過點O作OP平行BQ交l于點P，若AP=$\frac{1}{2}$AB，則a的值為$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 首先證明AO⊥OB，把點A代入拋物線解析式得到m=9，利用相似三角形性質(zhì)求出BK，求出點B坐標即可解決問題．

解答 解：如圖連接OA，PQ．

∵PB∥OQ，OP∥BQ，
∴四邊形OPBQ是平行四邊形，
∵∠OBQ=∠ABO=∠BOQ，
∴QB=QO，
∴四邊形OPBQ是菱形，
∴OQ=PB，PQ⊥OB，
∵AP=PB，
∴AP=OQ，AP∥OQ，
∴四邊形APQO是平行四邊形，
∴AO∥PQ，
∴AO⊥OB，∠AOB=90°，
把點A（-3，m）代入拋物線解析式，m=9a-9（a-1），
∴m=9，
由△AOK∽△OBK得到，OK²=AK•KB，
∴KB=27，
∴點B坐標（27，9）代入拋物線得到：9=27²×a+3×27（a-1），
解得a=$\frac{1}{9}$．
故答案為$\frac{1}{9}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出m的值，得到點B坐標，屬于中考�？碱}型．