Question

2．在平面直角坐標系中，A（-2，0），B（0，1），C（-4，0）．點D（4，m）在直線AB上，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c恰好過A、D兩點，點P（0，n）是拋物線對稱軸上的一動點，將點P向左平移2個單位長度，對應點為E，連接PF、CE．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在運動時，CE，PE，PD三條線段長度之和是否有最小值？若有，請求出此時點P的坐標．
（3）連接PA，請直接寫出能夠滿足P，A，D三點組成直角三角形的所有點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線AB的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得D點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得PA與CE的關系，根據(jù)兩點之間線段最短，可得P在線段AD上，可得P點坐標；
（3）根據(jù)根據(jù)勾股定理，可得PA²=m²+4．PD²=16+（m-3）²，AD²=32+62，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得關于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，將A，B點坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
當x=4時，y=3，即D（4，3）．
將A（-2，0），D（4，3）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}×（-2）^{2}-2b+c=0}\\{\frac{1}{4}×{4}^{2}+4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-1；
（2）由點P向左平移2個單位長度，對應點為E，得
PE=2，
CE，PE，PD三條線段長度之和為CE+PD最小，
∵AP=CE，
∴CE+PD=AP+PD．
當點P位于B處時，CE，PE，PD三條線段長度之和有最小值，此時P（0，1）．
（3）設P點坐標為（0，m），則PA²=m²+4．PD²=16+（m-3）²，AD²=32+62，
①PA²=PD²+AD²，m²+4=16+（m-3）²+94，解得m=11，
②PD²=PA²+AD²，m²+4+94=16+（m-3）²，解得m=-4
③AD²=PA²+PD²，m²+4+16+（m-3）²=94，解得m₁=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，
能夠滿足P，A，D三點組成直角三角形的所有點P的坐標（0，11）；（0，-4）；（0，$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$）；（0，$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用兩點之間線段最短得出P在AD上是解題關鍵，（3）利用勾股定理及逆定理得出關于m的方程是解題關鍵．