Question

14．已知點(diǎn)a（3，4），點(diǎn)B為直線x=-1上的動點(diǎn)，設(shè)B（-1，y）．
（1）如圖1，若點(diǎn)C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求兩個坐標(biāo)間y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）在（1）的條件下，Y是否有最大值？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由．
（3）如圖2，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1）．在x軸上另取點(diǎn)E，則當(dāng)點(diǎn)E在x軸上的什么位置時，△ABE的周長最��？求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，證得△BCD與△CAE相似，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）將（1）中的二次函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，結(jié)合函數(shù)圖象解答；
（3）根據(jù)“軸對稱的性質(zhì)”找到點(diǎn)E：過點(diǎn)A作x軸的對稱點(diǎn)A′．當(dāng)點(diǎn)B、E與點(diǎn)A′共線時，BE+AE=BE+A′E=A′B最小．由對稱的性質(zhì)可得到：A′（3，-4）．求出直線A′B的解析式，以及它與x軸的交點(diǎn)，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E．在△BCD與△CAE中，
∵∠BCD=∠CAE=90°-∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，
∴△BCD∽△CAE，
∴BD：CE=CD：AE，
∵A（3，4），B（-1，y），C（x，0）且-1＜x＜3，
∴y：（3-x）=（x+1）：4，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$（-1＜x＜3）．

（2）在（1）的條件下，y有最大值．理由如下：
y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+1（-1＜x＜3）．
所以對稱軸為x=1，
當(dāng)x=1時，y_最大值=1．

（3）△ABE的周長=AB+BE+EA，線段AB始終保持不變．
故當(dāng)BE+EA最小時，△ABE的周長最小，
如圖2，過點(diǎn)A作x軸的對稱點(diǎn)A′．當(dāng)點(diǎn)B、E與點(diǎn)A′共線時，BE+AE=BE+A′E=A′B最�。�
由對稱的性質(zhì)可得到：A′（3，-4）．
設(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b（k≠0）．
則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=1}\\{3k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
所以，直線BA′的解析式為y=-$\frac{5}{4}$x-$\frac{1}{4}$．
當(dāng)y=0時，x=-$\frac{1}{5}$，
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{5}$，0）．

點(diǎn)評 本題綜合考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)最大值的求法、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．