Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn)，BM=3，點(diǎn)N是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DN，ME，DN與ME相交于點(diǎn)O．若△OMN是直角三角形，則DO的長(zhǎng)是$\frac{25}{6}$或$\frac{50}{13}$．

Answer 1

分析 分兩種情形討論即可①∠MN′O′=90°，根據(jù)$\frac{ED}{MN′}$=$\frac{DO′}{O′N′}$計(jì)算即可
②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得$\frac{DO}{EF}$=$\frac{ED}{EM}$計(jì)算即可．

解答 解：如圖作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于點(diǎn)O′，此時(shí)∠MN′O′=90°，
∵DE是△ABC中位線，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=10，
∵DN′∥EF，
∴四邊形DEFN′是平行四邊形，∵∠EFN′=90°，
∴四邊形DEFN′是矩形，
∴EF=DN′，DE=FN′=10，
∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∴BN′=DN′=EF=FC=5，
∴$\frac{ED}{MN′}$=$\frac{DO′}{O′N′}$，
∴$\frac{10}{2}$=$\frac{DO′}{5-DO′}$，
∴DO′=$\frac{25}{6}$．
當(dāng)∠MON=90°時(shí)，
∵△DOE∽△EFM，
∴$\frac{DO}{EF}$=$\frac{ED}{EM}$，
∵EM=$\sqrt{E{F}^{2}+M{F}^{2}}$=13，
∴DO=$\frac{50}{13}$，
故答案為$\frac{25}{6}$或$\frac{50}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形中位線定理、矩形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．