Question

17．如圖，在等腰直角△ABC中，B=90°，以點(diǎn)A為圓心任意長為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點(diǎn)M，N，分別以點(diǎn)M，N為圓心大于$\frac{1}{2}$MN長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P剛好落在邊BC上，AB=10cm，下列說法中：
①AB=AD；②AP平分∠BAC；③△PDC的周長是10$\sqrt{2}$cm；④AN=ND，
正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線做法得出AP平分∠BAC，進(jìn)而結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)以及結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)分別判斷得出答案．

解答 解：由題意可得：AP平分∠BAC，則
在△ABP和△ADP中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ADP}\\{∠BAP=∠PAD}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，故①正確；
由角平分線的做法可得②AP平分∠BAC，故此選項正確；
∵等腰直角△ABC，
∴∠C=45°，則△PDC是等腰直角三角形，
∴DP=DC=DP，
∴③△PDC的周長是：PD+DC+PC=BP+PC+DC=BC+DC=AB+DC=AD+DC=AC=10$\sqrt{2}$cm，故此選項正確．
故選：A．

點(diǎn)評 此題主要考查了角平分線的作法以及等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)角平分線的作法得出AP是∠BAC的平分線是解題的關(guān)鍵．