Question

6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（4，0）．
（1）求點(diǎn)O關(guān)于AB對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)D（-2，3）關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)點(diǎn)O關(guān)于AB對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接OE、BE，作EC⊥x軸于C，再判定△OAB∽△COE，得出$\frac{EC}{OC}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，最后設(shè)點(diǎn)E（a，b），根據(jù)Rt△BCE中，BC²+EC²=BE²，列出方程求得點(diǎn)O關(guān)于AB對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先設(shè)點(diǎn)D關(guān)于AB對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接BD、BF，作FC⊥x軸于C，作DG⊥x軸于G，延長FD交x軸于P，判定△AOB∽△PCF∽△PGD，得出$\frac{DG}{PG}$=$\frac{FC}{PC}$=$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{2}$，最后設(shè)點(diǎn)F（a，b），根據(jù)Rt△BCF中，BC²+FC²=BF²，列出方程求得點(diǎn)D關(guān)于AB對稱點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)O關(guān)于AB對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接OE、BE，作EC⊥x軸于C，則
OB=EB，OE⊥AB，∠AOB=∠OCE，
∵∠OAB+∠AOB=∠COE+∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠COE，
∴△OAB∽△COE，
∵點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（4，0），
∴OB=EB=4，AO=8，
∴$\frac{EC}{OC}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)點(diǎn)E（a，b），則EC=b，OC=a=2b，BC=2b-4，
Rt△BCE中，BC²+EC²=BE²，（2b-4）²+b²=4²，
解得b=$\frac{16}{5}$，
∴a=$\frac{32}{5}$，
∴E（$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$），即點(diǎn)O關(guān)于AB對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$）；

（2）設(shè)點(diǎn)D關(guān)于AB對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接BD、BF，則DF⊥AB，BD=BF，
∵點(diǎn)B（4，0），D（-2，3），
∴BD²=3²+6²=45=BF²，
作FC⊥x軸于C，作DG⊥x軸于G，延長FD交x軸于P，則∠PCF=∠AOB=∠PGD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠P=∠OAB，
∴△AOB∽△PCF∽△PGD，
∵點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（4，0），
∴OB=EB=4，AO=8，
∴$\frac{DG}{PG}$=$\frac{FC}{PC}$=$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
又∵D（-2，3），
∴GO=2，DG=3，PG=6，
∴PO=8，
設(shè)點(diǎn)F（a，b），則FC=b，OC=a，BC=a-4，PC=8+a=2b，
Rt△BCF中，BC²+FC²=BF²，
即（a-4）²+b²=45，
∴（2b-8-4）²+b²=45，
解得b=$\frac{33}{5}$，
∴a=2b-8=$\frac{26}{5}$，
∴F（$\frac{26}{5}$，$\frac{33}{5}$），即點(diǎn)D關(guān)于AB對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{26}{5}$，$\frac{33}{5}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化，解決問題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及軸對稱的性質(zhì)等，解題時(shí)注意需要作輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形．