Question

14．已知：如圖∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）試說(shuō)明：BE=CF；
（2）若AF=3，BC=4，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接DB、DC，根據(jù)角平分線性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得：DE=DF，DB=DC，證明Rt△BED≌Rt△CFD（HL），得出結(jié)論；
（2）先證明△AED≌△AFD，得AF=AE=3，再將△ABC的周長(zhǎng)進(jìn)行等量代換，即△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=AE+EB+AF-CF+BC，代入求值即可．

解答 解：連接DB、DC，
（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵DG垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）∵∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=AE=3，
由（1）得：BE=CF，
∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC，
=AE+EB+AF-CF+BC，
=AE+AF+BC，
=3+3+4=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)，難度適中，角平分線和垂直平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用的題較少，這是一個(gè)典型題，直接運(yùn)用性質(zhì)得線段的長(zhǎng)，也可以運(yùn)用全等得出DE=DF、DB=DC，只是比較麻煩，第（2）問(wèn)中求的三角形的周長(zhǎng)，利用線段相等的轉(zhuǎn)化得出結(jié)論，這一思路經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握．