Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點B在第四象限．
（1）如圖①，若拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c過A、B兩點，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）平移（1）中的拋物線，使其頂點在直線AC上滑動（對應(yīng)的頂點記作點P），且與AC交于另一點Q．
①如圖②，當(dāng)點Q在x軸上時，求點P坐標(biāo)．
②若點M在直線AC下方，且△MPQ是等腰直角三角形，當(dāng)點M在（1）中所求的拋物線上時，求所有符合條件的點P的坐標(biāo)．
③取BC的中點N，連接NP、BQ，直接寫出NP+BQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出點B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）①設(shè)P（m，m-1），則由平移得到點Q的坐標(biāo)為（m-2，m-3），當(dāng)Q在x軸上時，可得m-3=0，解方程即可解決問題；
②分三種情形a、當(dāng)∠MPQ=90°時，設(shè)M（m+2，m-3），b、當(dāng)∠MQP=90°，M的坐標(biāo)為（m，m-5），c、當(dāng)∠PMQ=90°時，M的坐標(biāo)為（m，m-3），分別列出方程即可求解；
③如答圖3所示，作點B關(guān)于直線AC的對稱點B′，由分析可知，當(dāng)B′、Q、F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，最小值為線段B′F的長度．

解答 解：（1）∵等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3）
∴點B的坐標(biāo)為（4，-1）．
∵拋物線過A（0，-1），B（4，-1）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{\frac{1}{2}×16+4b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=-1
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1；

（2）①∵A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3），
∴直線AC的解析式為：y=x-1，
∵點P在直線AC上滑動，
∴設(shè)P（m，m-1），則由平移得到點Q的坐標(biāo)為（m-2，m-3），
當(dāng)Q在x軸上時，m-3=0，
∴m=3，
∴P（3，2）；
②若△MPQ是等腰直角三角形，則可分三種情況，
當(dāng)∠MPQ=90°時，設(shè)M（m+2，m-3），
∵當(dāng)點M在（1）中所求的拋物線上時，
∴m-3=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2（m+2）-1，
解得m₁=-4，m₂=2，
∴點P的坐標(biāo)（-4，-5）或（2，1）；
當(dāng)∠MQP=90°，M的坐標(biāo)為（m，m-5），
∵M(jìn)在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1上，
∴-$\frac{1}{2}$m²+2m-1=m-5，
解得m₁=4，m₂=-2，
∴點P的坐標(biāo)為（4，3）或（-2，-3）．
當(dāng)∠PMQ=90°時，M的坐標(biāo)為（m，m-3），
∵M(jìn)在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1上，
∴-$\frac{1}{2}$m²+2m-1=m-3，
解得m₁=1+$\sqrt{5}$，m₂=1-$\sqrt{5}$，
∴點P的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）或（1-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）．
綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為（-4，-5）或（2，1）或（4，3）或（-2，-3）或（1+$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）或（1-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）．

③如答圖3，取點B關(guān)于AC的對稱點B′，易得點B′的坐標(biāo)為（0，3），BQ=B′Q，取AB中點F，
連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四邊形PQFN為平行四邊形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴當(dāng)B′、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，最小值為2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應(yīng)用、最值問題、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．