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20.(2009福建卷文)(本小題滿分14分)

已知直線經(jīng)過橢圓 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢

圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線

分別交于兩點(diǎn)。

　 (I)求橢圓的方程；

　 (Ⅱ)求線段MN的長度的最小值；

　 (Ⅲ)當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這

樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由

解法一：

(I)由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為

　　　 故橢圓的方程為

(Ⅱ)直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而

由得0

設(shè)則得，從而 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

即又

由得

故

又 　　

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

時(shí)，線段的長度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，當(dāng)取最小值時(shí)，

　　 此時(shí)的方程為

　　 　要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。

設(shè)直線

則由解得或 　　

19.(2009寧夏海南卷文)(本小題滿分12分)

已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)

焦點(diǎn)的距離分別是7和1

(I)　　　　　　　　　　 求橢圓的方程‘

(II)　　　　　　　　 若為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，

(e為橢圓C的離心率)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

解：

(Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得 　　　　　

{　 解得a=4,c=3, 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

所以橢圓C的方程為 　　　　　　

(Ⅱ)設(shè)M(x,y),P(x,),其中由已知得

而，故　　　　　 �、�

由點(diǎn)P在橢圓C上得　　　　 　　　　　　

代入①式并化簡得

所以點(diǎn)M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段. 　　　　　　

18.(2009遼寧卷文)(本小題滿分12分)

已知，橢圓C以過點(diǎn)A(1，)，兩個(gè)焦點(diǎn)為(－1，0)(1，0)。

(1)　　　 求橢圓C的方程；

(2)　　　 E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。 　　　　　

(22)解：(Ⅰ)由題意，c＝1,可設(shè)橢圓方程為。 　　　　　

因?yàn)锳在橢圓上，所以，解得＝3，＝(舍去)。

所以橢圓方程為　 ．　　 　　　　　　　�。�．．．．．4分

(Ⅱ)設(shè)直線AE方程：得，代入得 　　　　　

設(shè)E(，)，F(xiàn)(，)．因?yàn)辄c(diǎn)A(1，)在橢圓上，所以

， 　　　　　

�！　　　　　　　　　　　。�．．．．．．8分

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得

， 　　　　　

。

所以直線EF的斜率。

即直線EF的斜率為定值，其值為�！　　　　　　　　　　� 　　 ．．．．．．．12分

17.(2009天津卷文)(本小題滿分14分)

已知橢圓()的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，且

(Ⅰ求橢圓的離心率

(Ⅱ)直線AB的斜率；

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)H(m,n)()在的外接圓上，求的值。

[答案](1)(2)(3)

[解析] (1)解：由，得,從而

，整理得，故離心率

(2)解：由(1)知，，所以橢圓的方程可以寫為

設(shè)直線AB的方程為即

由已知設(shè)則它們的坐標(biāo)滿足方程組 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

消去y整理，得

依題意，

而，有題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以

聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得

(3)由(2)知，，當(dāng)時(shí)，得A由已知得

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為

直線的方程為，于是點(diǎn)滿足方程組由，解得，故

當(dāng)時(shí)，同理可得

[考點(diǎn)定位]本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)�？疾橛么鷶�(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力。

16.(2009江西卷文)(本小題滿分14分)

如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接△的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點(diǎn).　　　　　　

(1)求圓的半徑;

(2)過點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn)，

解: (1)設(shè)，過圓心作于,交長軸于

由得,

即　　 　　　　　　　(1)　　　　　　

而點(diǎn)在橢圓上,　　　 (2)

由(1)、 (2)式得,解得或(舍去)

(2) 設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為:　　　　　　 (3)

則,即　　　　　　 (4)

解得

將(3)代入得,則異于零的解為

設(shè),，則

則直線的斜率為：

于是直線的方程為:　

即

則圓心到直線的距離　　　　　　 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

故結(jié)論成立.

15.(2009安徽卷文)(本小題滿分12分)

已知橢圓(a＞b＞0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心。橢圓短半軸長半徑的

圓與直線y=x+2相切，

(Ⅰ)求a與b；21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　　　

(Ⅱ)設(shè)該橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為和，直線過且與x軸垂直，動(dòng)直線與y軸垂直，交與點(diǎn)p..求線段P垂直平分線與的交點(diǎn)M的軌跡方程，并指明曲線類型。

[思路](1)由橢圓建立a、b等量關(guān)系，再根據(jù)直線與橢圓相切求出a、b.

(2)依據(jù)幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程可求得，這之中的消參就很重要了。

[解析](1)由于　 ∴　 ∴　 又　 ∴b²=2,a²=3因此，. 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　　　

(2)由(1)知F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)分別為(-1，0)，(1,0)，由題意可設(shè)P(1，t).(t≠0).那么線段PF₁中點(diǎn)為，設(shè)M(x、y)是所求軌跡上的任意點(diǎn).由于則消去參數(shù)t得

,其軌跡為拋物線(除原點(diǎn))

14. (2009山東卷文)(本小題滿分14分)

設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

(2)已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;

(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,當(dāng)R為何值時(shí),|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

解:(1)因?yàn)?sub>,,,

所以,　　 即. 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;

當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓

當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓;

當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.

(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,

要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,

則使△=,

即,即,　　 且

,

要使,　 需使,即,

所以,　 即且,　 即恒成立.

所以又因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,

所以圓的半徑為,, 所求的圓為.

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.

綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.

(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本�與圓C:(1<R<2)相切于A₁, 由(2)知,　 即　　 ①,

因?yàn)?sub>與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,

由(2)知得,

即有唯一解

則△=,　　 即,　　 ②

由①②得,　 此時(shí)A,B重合為B₁(x₁,y₁)點(diǎn), 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)點(diǎn)在橢圓上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因?yàn)?sub>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,即

當(dāng)時(shí)|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.

[命題立意]:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點(diǎn)問題,有幾個(gè)交點(diǎn)的問題.

13.(2009浙江文)(本題滿分15分)已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為．

　 (I)求與的值；

　 (II)設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)．若是的切線，求的最小值．

解析(Ⅰ)由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：，根據(jù)拋物線定義

點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，解得

拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得

(Ⅱ)由題意知，過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為。

則，當(dāng)　 則。

聯(lián)立方程，整理得：

即：，解得或

，而，直線斜率為 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

，聯(lián)立方程

整理得：，即：

　，解得：，或

，

而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率：

MN是拋物線的切線，， 整理得

，解得(舍去)，或，

12.(2009年廣東卷文)(本小題滿分14分)

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).

(1)求橢圓G的方程

(2)求的面積

(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由.

[解析](1)設(shè)橢圓G的方程為：　 ()半焦距為c;

　　　　 則 , 解得 ,

　　 所求橢圓G的方程為：. 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　　　　　

(2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為

(3)若，由可知點(diǎn)(6，0)在圓外，

　　 若，由可知點(diǎn)(-6，0)在圓外；

　　 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.

11.(2009寧夏海南卷文)已知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為 　　　　　　　　。

[答案]

[解析]設(shè)拋物線為y²＝kx，與y＝x聯(lián)立方程組，消去y，得：x²－kx＝0，＝k＝2×2，故.