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例7．已知a＞0且a≠1,試求使方程log(x-ak)=log(x-a)

有解的實數(shù)k的取值范圍。

解：原方程等價于0＜x-ak＝

構(gòu)造曲線C:y=,直線L:y= x-ak

從而使問題轉(zhuǎn)化為直線L和雙曲線C:x-y=a(y≥0)x軸上半部分有交點，求實數(shù)k的取值范圍,如圖所示：

有三條臨界直線L、L、L

①　　 當L在L和L之間時，直線L在y軸上的截距

②　　 －ak滿足－a＜－ak＜0時L與C有一個交點，

解之可得0＜k＜1

③　　 當L在L上方時，直線L在y軸上的截距－ak滿

足a＜－ak時L與C有一個交點，

解之可得k＜－1

　 綜合①②可得，所求k的取值范圍是

例8．求函數(shù)y=+的值域。

解：設(shè)m=,　　 n=,　 則m+n=16 (0≤m≤4,0≤n≤2)

原函數(shù)可變形為y=m+n,　 y表示直線在n軸上的截距，結(jié)合圖形可知

y=2,　 y=2

點評：這兩道題目可以建立目標函數(shù)，然后利用求函數(shù)最值的方法解決，但利用圓錐曲線定義數(shù)形結(jié)合求解，事半功倍，迅速而準確。

例6．已知sin+sin=,　 cos+cos=，　 求tan(+)的值

解:點A(cos，sin)B(cos ,sin)

都在單位圓上，由已知可知A和B的中點C坐標

　(,),則直線AB過定點C

∠xOC= +=

∴tan∠xOC= tan =

∴tan(+)==

點評：另外，單位圓中的三角函數(shù)線可以輔助解決三角不等式(組)問題。

求含有兩個變量的線性式子的最值，可以構(gòu)造直線方程，利用截距的意義解決問題。這一應(yīng)用在線性規(guī)劃中體現(xiàn)的很充分---求線性目標函數(shù)的最值。

例5．已知x,y滿足條件＝1，求y-3x的最小值和最大值

解：令y-3x=b,　 即y=3x+b

由聯(lián)立可得： 169+966y+16b-400=0,令⊿≥0得：

－13≤b≤13

∴y-3x的最小值和最大值分別是－13和13。

求通過變形可以出現(xiàn)的模式的式子的最值問題，可以優(yōu)先考慮兩點間的距離公式的利用

例4．函數(shù)y=的最小值為　　　　　 。

解析：函數(shù)可化為y=-

這個式子表示P(x,0)到點A(6,4)和點B(2,1)的差，

由右圖可知，當P、A、B三點共線時，

︱PA︱-︱PB︱≤︱AB︱,　 ︱AB︱=5

函數(shù)取得最大值為5

提示：a+b＝()＝(),表示點(a,b)到原點的距離。

分式型的最值問題可以通過變形,利用斜率公式解決。

例3．函數(shù)y=最大值是　　　　 　，最小值是　　　　　　 　。

解：函數(shù)解析式表示經(jīng)過A(－cosx,sinx)和B(2，3)兩點連線的斜率k，A在單位圓x+y=1上，經(jīng)過A和B兩點的直線方程為y-3=k(x-2)

即kx-y+3-2k=0,由直線和圓的位置關(guān)系得≤1解之可得; 　≤k≤　　　　　 　　　　　　　　

所以函數(shù)得最大值是最小值是。

例1．(1)(2003上海春，5)已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實數(shù)a的取值范圍是_____.

解析：(1)a≤－2；

∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系，

因此有a≤－2.

點評：利用韋恩圖和數(shù)軸可以直觀地解決集合問題

韋恩圖是解決集合運算問題常用的工具，還可證明一些常用的恒等式，如A∩B=A∪BA=B,A=A∩BABB=A∪B，C(A∩B)= CA∪CB, C(A∪B)= CA∩CB等。

例1.某班50人中，參見數(shù)學競賽的25人，參加化學競賽的32人，求既參加數(shù)學競賽又參加化學競賽的人數(shù)的最大值和最小值。

解：設(shè)兩科都參加的人數(shù)是x人，則參加化學競賽和參加數(shù)學競賽的人數(shù)分別是32-x,25-x

根據(jù)題意的實際意義得：，解不等式可得

7≤x≤25

∴兩科都參加得人數(shù)的最大值是25和最小值是7

29.(12分) 某實驗小組用通過右圖裝置合成乙酸乙酯。在圖中蒸餾燒瓶A內(nèi)加入乙醇、濃硫酸和無水乙酸，加熱一段時間后即可在錐形瓶內(nèi)得到乙酸乙酯粗產(chǎn)品。

請回答下列問題：

(1) 在蒸餾燒瓶A中除加入乙醇、濃硫酸和無水乙酸外，還應(yīng)放入碎瓷片，其目的是　　　　　　　　　　 。蒸餾燒瓶A中發(fā)生的反應(yīng)的化學方程式為　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　。

(2)收集產(chǎn)品時，不使用玻璃導(dǎo)管，而使用儀器B的原因是　　　　　　　　　　 。

(3)實驗中加熱保持沸騰的主要目的有　　　　　　　　　 ，　　　　　　　　 。

(4)錐形瓶內(nèi)收集的乙酸乙酯粗產(chǎn)品中所含雜質(zhì)主要有　　　　　　　　　　　 。

現(xiàn)擬通過以下操作步驟從所得粗產(chǎn)品中分離出各成分。(分離后允許含有少量水)。

操作一的名稱是　　　　　　 ，在C中加入的試劑a是　　　　　　　　　　　　　 ，

操作三的名稱是　　　　　　　　 。進行操作二后所得的E物質(zhì)是 　　　　　　　　�！　　　　　　　　�

28.(12分) A~I 九種有機物的轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示。

3．

(1) A的結(jié)構(gòu)簡式為　　　　　　　　　　　　　 。

(2) ①E→F反應(yīng)的化學方程式為：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

②C₄H₈O₂與熱的NaOH溶液反應(yīng)的化學方程式為：　　　　　　　　　　　　　 。

(3) 在一定條件下，由F經(jīng)一步或若干步可合成六元環(huán)X。若X的分子式為C₄H₈O₂，則F的結(jié)構(gòu)簡式為　　　　　　　　　　　　 ；若X的分子式為C₄H₄O₄，則最后一步反應(yīng)的化學方程式為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　。