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3．雜技節(jié)目“水流星”

表演時(shí)，用一根繩子兩端各拴一個(gè)盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)杯口朝下，但水不會(huì)流下，如圖所示，這是為什么？

分析：以杯中之水為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可知：F向＝m，此時(shí)重力G與FN的合力充當(dāng)了向心力即F向＝G+FN

故：G+FN＝m

由上式可知v減小，F(xiàn)減小，當(dāng)FN＝0時(shí)，v有最小值為。

討論：

①當(dāng)mg＝m，即v＝時(shí)，水恰能過(guò)最高點(diǎn)不灑出，這就是水能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件；

②當(dāng)mg＞m，即v＜時(shí)，水不能過(guò)最高點(diǎn)而不灑出；

③當(dāng)mg＜m，即v＞時(shí)，水能過(guò)最高點(diǎn)不灑出，這時(shí)水的重力和杯對(duì)水的壓力提供向心力。

例8：繩系著裝有水的水桶，在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，水的質(zhì)量m＝0.5 kg，繩長(zhǎng)L＝60 cm，求：

①最高點(diǎn)水不流出的最小速率。

②水在最高點(diǎn)速率v＝3 m/s時(shí)，水對(duì)桶底的壓力。

[審題]當(dāng)v0=時(shí)，水恰好不流出，要求水對(duì)桶底的壓力和判斷是否能通過(guò)最高點(diǎn)，也要和這個(gè)速度v比較，v>v0時(shí)，有壓力；v=v0時(shí)，恰好無(wú)壓力；v≤v0時(shí)，不能到達(dá)最高點(diǎn)。

[解析]①水在最高點(diǎn)不流出的條件是重力不大于水做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力即mg＜，

則最小速度v0＝＝＝2.42 m/s。

②當(dāng)水在最高點(diǎn)的速率大于v0時(shí)，只靠重力提供向心力已不足，此時(shí)水桶底對(duì)水有一向下的壓力，設(shè)為F，由牛頓第二定律

F+mg＝m得：F＝2.6 N。

由牛頓第三定律知，水對(duì)水桶的作用力F′＝－F＝－2.6 N，即方向豎直向上。

[總結(jié)]當(dāng)速度大于臨界速率時(shí)，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因此桶底對(duì)水產(chǎn)生向下的壓力。

例2：汽車質(zhì)量m為1.5×104 kg，以不變的速率先后駛過(guò)凹形路面和凸形路面，路面圓弧半徑均為15 m，如圖3-17所示．如果路面承受的最大壓力不得超過(guò)2×105 N，汽車允許的最大速率是多少？汽車以此速率駛過(guò)路面的最小壓力是多少？

[審題]首先要確定汽車在何位置時(shí)對(duì)路面的壓力最大，汽車經(jīng)過(guò)凹形路面時(shí)，向心加速度方向向上，汽車處于超重狀態(tài)；經(jīng)過(guò)凸形路面時(shí)，向心加速度向下，汽車處于失重狀態(tài)，所以汽車經(jīng)過(guò)凹形路面最低點(diǎn)時(shí)，汽車對(duì)路面的壓力最大。

[解析]當(dāng)汽車經(jīng)過(guò)凹形路面最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)路面支持力為FN1，受力情況如圖3-18所示，由牛頓第二定律，

有FN1－mg＝m

要求FN1≤2×105 N

解得允許的最大速率vm＝7.07 m/s

由上面分析知，汽車經(jīng)過(guò)凸形路面頂點(diǎn)時(shí)對(duì)路面壓力最小，設(shè)為FN2，如圖3-19所示，由牛頓第二定律有

mg－FN2＝

解得FN2＝1×105 N。

[總結(jié)]汽車過(guò)拱橋時(shí)，一定要按照實(shí)際情況受力分析，沿加速度方向列式。

(7)離心運(yùn)動(dòng)

離心現(xiàn)象條件分析

①做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，由于本身具有慣性，總是想沿著切線方向運(yùn)動(dòng)，只是由于向心力作用，使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運(yùn)動(dòng)，如圖3-20中B所示。

②當(dāng)產(chǎn)生向心力的合外力消失，F(xiàn)＝0，物體便沿所在位置的切線方向飛出去，如圖3-20中A所示。

③當(dāng)提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于應(yīng)當(dāng)具有的向心力，，即合外力不足以提供所需的向心力的情況下，物體沿切線與圓周之間的一條曲線運(yùn)動(dòng)，如圖3-20所示�！�

在實(shí)際中，有一些利用離心運(yùn)動(dòng)的機(jī)械，這些機(jī)械叫做離心機(jī)械。離心機(jī)械的種類很多，應(yīng)用也很廣。例如，離心干燥(脫水)器，離心分離器，離心水泵。

例9：一把雨傘邊緣的半徑為r，且高出水平地面h．當(dāng)雨傘以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，雨滴自邊緣甩出落在地面上成一個(gè)大圓周．這個(gè)大圓的半徑為_(kāi)______。

[審題]想象著實(shí)際情況，當(dāng)以一定速度旋轉(zhuǎn)雨傘時(shí)，雨滴甩出做離心運(yùn)動(dòng)，落在地上，形成一個(gè)大圓。

[解析]雨滴離開(kāi)雨傘的速度為v0＝ωr

雨滴做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝

雨滴的水平位移為s＝v0t＝ωr

雨滴落在地上形成的大圓的半徑為

R＝

[總結(jié)]通過(guò)題目的分析，雨滴從傘邊緣沿切線方向，以一定的初速度飛出，豎直方向上是自由落體運(yùn)動(dòng)，雨滴做的是平拋運(yùn)動(dòng)，把示意圖畫出來(lái)，通過(guò)示意圖就可以求出大圓半徑。

(8)難點(diǎn)突破⑧--圓周運(yùn)動(dòng)的功和能

應(yīng)用圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，由于較多知識(shí)交織在一起，所以分析問(wèn)題時(shí)利用能量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的特點(diǎn)作為解題的切入點(diǎn)，可能大大降低難度。

例9：使一小球沿半徑為R的圓形軌道從最低點(diǎn)上升，那么需給它最小速度為多大時(shí)，才能使它達(dá)到軌道的最高點(diǎn)？

[審題]小球到達(dá)最高點(diǎn)A時(shí)的速度vA不能為零，否則小球早在到達(dá)A點(diǎn)之前就離開(kāi)了圓形軌道。要使小球到達(dá)A點(diǎn)(自然不脫離圓形軌道)，則小球在A點(diǎn)的速度必須滿足

Mg+NA=m，式中，NA為圓形軌道對(duì)小球的彈力。上式表示小球在A點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力由軌道對(duì)它的彈力和它本身的重力共同提供。當(dāng)NA=0時(shí)，vA最小，vA=。這就是說(shuō)，要使小球到達(dá)A點(diǎn)，則應(yīng)該使小球在A點(diǎn)具有的速度vA≥。

[解析]以小球?yàn)檠芯繉?duì)象。小球在軌道最高點(diǎn)時(shí)，受重力和軌道給的彈力。

小球在圓形軌道最高點(diǎn)A時(shí)滿足方程

根據(jù)機(jī)械能守恒，小球在圓形軌道最低點(diǎn)B時(shí)的速度滿足方程

　　　　 (2)

解(1)，(2)方程組得

當(dāng)NA=0時(shí)，VB=為最小，VB=

所以在B點(diǎn)應(yīng)使小球至少具有VB=的速度，才能使它到達(dá)圓形軌道的最高點(diǎn)A。

[總結(jié)]在桿和管子的約束下做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以有拉力和支持力，所以在最高點(diǎn)的速度可以等于零；在圓軌道和繩子的約束下做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只能有拉力，所以在最高點(diǎn)的速度必須大于。

(9)實(shí)驗(yàn)中常見(jiàn)的圓周運(yùn)動(dòng)

綜合題往往以圓周運(yùn)動(dòng)和其他物理知識(shí)為背景，這類題代表了理科綜合命題方向，要在平日的做題中理解題目的原理，靈活的把握題目。

例10： 圖3-22甲所示為測(cè)量電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的實(shí)驗(yàn)裝置，半徑不大的圓形卡紙固定在電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上，在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．在圓形卡紙的旁邊垂直安裝一個(gè)改裝了的電火花計(jì)時(shí)器。

①請(qǐng)將下列實(shí)驗(yàn)步驟按先后排序：　　　�。�

A．使電火花計(jì)時(shí)器與圓形卡紙保持良好接觸

B．接通電火花計(jì)時(shí)器的電源，使它工作起來(lái)

C．啟動(dòng)電動(dòng)機(jī)，使圓形卡紙轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)

D．關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，拆除電火花計(jì)時(shí)器；研究卡紙上留下的一段痕跡(如圖3-22乙所示)，寫出角速度ω的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)，得出ω的測(cè)量值

②要得到ω的測(cè)量值，還缺少一種必要的測(cè)量工具，它是　　．

A．秒表　　B．毫米刻度尺　　C．圓規(guī)　　D．量角器

③寫出角速度ω的表達(dá)式，并指出表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義：　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　．

④為了避免在卡紙連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中出現(xiàn)打點(diǎn)重疊，在電火花計(jì)時(shí)器與盤面保持良好接觸的同時(shí)，可以緩慢地將電火花計(jì)時(shí)器沿圓形卡紙半徑方向向卡紙中心移動(dòng)．則卡紙上打下的點(diǎn)的分布曲線不是一個(gè)圓，而是類似一種螺旋線，如圖3-22丙所示．這對(duì)測(cè)量結(jié)果有影響嗎？　　　

[審題]因?yàn)檫@個(gè)題目用的是打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，所以兩點(diǎn)之間的時(shí)間是0.02s，通過(guò)量角器量出圓心到兩點(diǎn)之間的角度，利用ω=θ/t。

[解析]具體的實(shí)驗(yàn)步驟應(yīng)該是A、C、B、D，量出角度應(yīng)該用量角器D，，θ為n個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓心角，t為時(shí)間間隔；應(yīng)該注意的一個(gè)問(wèn)題是不能轉(zhuǎn)動(dòng)一圈以上，因?yàn)辄c(diǎn)跡重合，當(dāng)半徑減小時(shí)，因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度不變，所以沒(méi)有影響。

[總結(jié)]本題考查的是圓周運(yùn)動(dòng)中角速度的定義，ω=θ/t，實(shí)驗(yàn)中θ是用量角器測(cè)量出來(lái)的，時(shí)間t的測(cè)量用的是打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，應(yīng)該充分發(fā)揮想象，不是打點(diǎn)計(jì)時(shí)器只能測(cè)量直線運(yùn)動(dòng)。

(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)與非勻速圓周運(yùn)動(dòng)

a.圓周運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)方向(即速度方向)在不斷變化。圓周運(yùn)動(dòng)也不可能是勻變速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榧词故莿蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，其加速度方向也是時(shí)刻變化的。

b.最常見(jiàn)的圓周運(yùn)動(dòng)有：①天體(包括人造天體)在萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)動(dòng)；②核外電子在庫(kù)侖力作用下繞原子核的運(yùn)動(dòng)；③帶電粒子在垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)的平面里在磁場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)；④物體在各種外力(重力、彈力、摩擦力、電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力等)作用下的圓周運(yùn)動(dòng)。

c.勻速圓周運(yùn)動(dòng)只是速度方向改變，而速度大小不變。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圓心。非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力沿著半徑指向圓心的分力，提供向心力，產(chǎn)生向心加速度；合外力沿切線方向的分力，產(chǎn)生切向加速度，其效果是改變速度的大小。

例1：如圖3-1所示，兩根輕繩同系一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的A、B兩處，上面繩AC長(zhǎng)L=2m，當(dāng)兩繩都拉直時(shí)，與軸的夾角分別為30°和45°，求當(dāng)小球隨軸一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)角速度為ω=4rad/s時(shí)，上下兩輕繩拉力各為多少？

[審題]兩繩張緊時(shí)，小球受的力由0逐漸增大時(shí)，ω可能出現(xiàn)兩個(gè)臨界值。

[解析]如圖3-1所示，當(dāng)BC剛好被拉直，但其拉力T2恰為零，設(shè)此時(shí)角速度為ω1，AC繩上拉力設(shè)為T1，對(duì)小球有：

　 ①

②

代入數(shù)據(jù)得：

，

要使BC繩有拉力，應(yīng)有ω>ω1，當(dāng)AC繩恰被拉直，但其拉力T1恰為零，設(shè)此時(shí)角速度為ω2，BC繩拉力為T2，則有

　 ③

　 T2sin45°=mLACsin30°④

代入數(shù)據(jù)得：ω2=3.16rad/s。要使AC繩有拉力，必須ω<ω2，依題意ω=4rad/s>ω2，故AC繩已無(wú)拉力，AC繩是松馳狀態(tài)，BC繩與桿的夾角θ>45°，對(duì)小球有：

T2cosθ=m ω2LBCsin θ ⑤

而LACsin30°=LBCsin45°

LBC=m　　 ⑥

由⑤、⑥可解得

；

[總結(jié)]當(dāng)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受合外力一定指向圓心，在圓周的切線方向上和垂直圓周平面的方向上的合外力必然為零。

(2)同軸裝置與皮帶傳動(dòng)裝置

在考查皮帶轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象的問(wèn)題中，要注意以下兩點(diǎn)：

a、同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸上的各點(diǎn)角速度相等；

b、和同一皮帶接觸的各點(diǎn)線速度大小相等，這兩點(diǎn)往往是我們解決皮帶傳動(dòng)的基本方法。

例2：如圖3-2所示為一皮帶傳動(dòng)裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪半徑為4r，小輪半徑為2r，b點(diǎn)在小輪上，到小輪中心距離為r，c點(diǎn)和d點(diǎn)分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動(dòng)過(guò)程中，皮帶不打滑，則

A．a(chǎn)點(diǎn)與b點(diǎn)線速度大小相等

B．a(chǎn)點(diǎn)與c點(diǎn)角速度大小相等

C．a(chǎn)點(diǎn)與d點(diǎn)向心加速度大小相等

D．a(chǎn)、b、c、d四點(diǎn)，加速度最小的是b點(diǎn)

[審題] 分析本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：其一是同一輪軸上的各點(diǎn)角速度相同；其二是皮帶不打滑時(shí)，與皮帶接觸的各點(diǎn)線速度大小相同。這兩點(diǎn)抓住了，然后再根據(jù)描述圓周運(yùn)動(dòng)的各物理量之間的關(guān)系就不難得出正確的結(jié)論。

[解析]由圖3-2可知，a點(diǎn)和c點(diǎn)是與皮帶接觸的兩個(gè)點(diǎn)，所以在傳動(dòng)過(guò)程中二者的線速度大小相等，即va＝vc，又v＝ωR， 所以ωar＝ωc·2r，即ωa＝2ωc．而b、c、d三點(diǎn)在同一輪軸上，它們的角速度相等，則ωb＝ωc＝ωd＝ωa，所以選項(xiàng)B錯(cuò)．又vb＝ωb·r＝ ωar＝，所以選項(xiàng)A也錯(cuò)．向心加速度：aa＝ωa2r；ab＝ωb2·r＝()2r＝ωa2r＝aa；ac＝ωc2·2r＝(ωa)2·2r＝ ωa2r＝aa；ad＝ωd2·4r＝(ωa)2·4r＝ωa2r＝aa．所以選項(xiàng)C、D均正確。

[總結(jié)]該題除了同軸角速度相等和同皮帶線速度大小相等的關(guān)系外，在皮帶傳動(dòng)裝置中，從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)是靜摩擦力作用的結(jié)果．從動(dòng)輪受到的摩擦力帶動(dòng)輪子轉(zhuǎn)動(dòng)，故輪子受到的摩擦力方向沿從動(dòng)輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同；主動(dòng)輪靠摩擦力帶動(dòng)皮帶，故主動(dòng)輪所受摩擦力

方向沿輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。是不是所有的題目都要是例1這種類型的呢？當(dāng)然不是，當(dāng)輪與輪之間不是依靠皮帶相連轉(zhuǎn)動(dòng)，而是依靠摩擦力的作用或者是齒輪的嚙合，如圖3-3所示，同樣符合例1的條件。

(3)向心力的來(lái)源

a．向心力是根據(jù)力的效果命名的．在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)，切記在物體的作用力(重力、彈力、摩擦力等)以外不要再添加一個(gè)向心力。

b．對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，一般可按如下步驟進(jìn)行分析：

①確定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體作為研究對(duì)象。

②明確運(yùn)動(dòng)情況，包括搞清運(yùn)動(dòng)速率v，軌跡半徑R及軌跡圓心O的位置等。只有明確了上述幾點(diǎn)后，才能知道運(yùn)動(dòng)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所需的向心力大小( mv2/R )和向心力方向(指向圓心)。

③分析受力情況，對(duì)物體實(shí)際受力情況做出正確的分析，畫出受力圖，確定指向圓心的合外力F(即提供向心力)。

④選用公式F=m=mRω2=mR解得結(jié)果。

c．圓周運(yùn)動(dòng)中向心力的特點(diǎn)：

①勻速圓周運(yùn)動(dòng)：由于勻速圓周運(yùn)動(dòng)僅是速度方向變化而速度大小不變，故只存在向心加速度，物體受到外力的合力就是向心力。可見(jiàn)，合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，是物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件。

②變速圓周運(yùn)動(dòng)：速度大小發(fā)生變化，向心加速度和向心力都會(huì)相應(yīng)變化。求物體在某一點(diǎn)受到的向心力時(shí)，應(yīng)使用該點(diǎn)的瞬時(shí)速度，在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，合外力不僅大小隨時(shí)間改變，其方向也不沿半徑指向圓心。合外力沿半徑方向的分力(或所有外力沿半徑方向的分力的矢量和)提供向心力，使物體產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向；合外力沿軌道切線方向的分力，使物體產(chǎn)生切向加速度，改變速度的大小。

③當(dāng)物體所受的合外力F小于所需要提供的向心力mv2/R時(shí)，物體做離心運(yùn)動(dòng)。

例3：如圖3-4所示，半徑為R的半球形碗內(nèi)，有一個(gè)具有一定質(zhì)量的物體A，A與碗壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)碗繞豎直軸OO/勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體A剛好能緊貼在碗口附近隨碗一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)而不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，求碗轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．

[審題]物體A隨碗一起轉(zhuǎn)動(dòng)而不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω就等于碗轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω。物體A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力方向指向球心O，故此向心力不是由重力而是由碗壁對(duì)物體的彈力提供，此時(shí)物體所受的摩擦力與重力平衡。

[解析]物體A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力：

而摩擦力與重力平衡，則有：

即：

由以上兩式可得：

即碗勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為：

[總結(jié)]分析受力時(shí)一定要明確向心力的來(lái)源，即搞清楚什么力充當(dāng)向心力．本題還考查了摩擦力的有關(guān)知識(shí)：水平方向的彈力為提供摩擦力的正壓力，若在剛好緊貼碗口的基礎(chǔ)上，角速度再大，此后摩擦力為靜摩擦力，摩擦力大小不變，正壓力變大。

例4：如圖3-5所示，在電機(jī)距軸O為r處固定一質(zhì)量為m的鐵塊．電機(jī)啟動(dòng)后，鐵塊以角速度ω繞軸O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．則電機(jī)對(duì)地面的最大壓力和最小壓力之差為_(kāi)_________。

[審題]鐵塊在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力是重力mg與輪對(duì)它的力F的合力．由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知：當(dāng)m轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)F最大，當(dāng)m轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)F最小。

[解析]設(shè)鐵塊在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，電機(jī)對(duì)其作用力分別為F1和F2，且都指向軸心，根據(jù)牛頓第二定律有：

在最高點(diǎn)：mg+F1＝mω2r　　　　　　　　　　　　　　 ①

在最低點(diǎn)：F2－mg＝mω2r　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

電機(jī)對(duì)地面的最大壓力和最小壓力分別出現(xiàn)在鐵塊m位于最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)，且壓力差的大小為：ΔFN＝F2+F1　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

由①②③式可解得：ΔFN＝2mω2r

[總結(jié)]

(1)若m在最高點(diǎn)時(shí)突然與電機(jī)脫離，它將如何運(yùn)動(dòng)?

(2)當(dāng)角速度ω為何值時(shí)，鐵塊在最高點(diǎn)與電機(jī)恰無(wú)作用力?

(3)本題也可認(rèn)為是一電動(dòng)打夯機(jī)的原理示意圖。若電機(jī)的質(zhì)量為M，則ω多大時(shí)，電機(jī)可以“跳”起來(lái)?此情況下，對(duì)地面的最大壓力是多少?

解：(1)做初速度沿圓周切線方向，只受重力的平拋運(yùn)動(dòng)。

(2)電機(jī)對(duì)鐵塊無(wú)作用力時(shí)，重力提供鐵塊的向心力，則

mg＝mω12r

即　 ω1＝

(3)鐵塊在最高點(diǎn)時(shí)，鐵塊與電動(dòng)機(jī)的相互做用力大小為F1，則

F1+mg＝mω22r

F1＝Mg

即當(dāng)ω2≥時(shí)，電動(dòng)機(jī)可以跳起來(lái)，當(dāng)ω2＝時(shí)，鐵塊在最低點(diǎn)時(shí)電機(jī)對(duì)地面壓力最大，則

F2－mg＝mω22r

FN＝F2+Mg

解得電機(jī)對(duì)地面的最大壓力為FN＝2(M+m)g

(4)圓周運(yùn)動(dòng)的周期性

利用圓周運(yùn)動(dòng)的周期性把另一種運(yùn)動(dòng)(例如勻速直線運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng))聯(lián)系起來(lái)。圓周運(yùn)動(dòng)是一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，而另一個(gè)運(yùn)動(dòng)通常也是獨(dú)立的，分別明確兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，注意用時(shí)間相等來(lái)聯(lián)系。

在這類問(wèn)題中，要注意尋找兩種運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，往往是通過(guò)時(shí)間相等來(lái)建立聯(lián)系的。同時(shí)，要注意圓周運(yùn)動(dòng)具有周期性，因此往往有多個(gè)答案。

例5：如圖3-6所示，半徑為R的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其正上方h處沿OB方向水平拋出一個(gè)小球，要使球與盤只碰一次，且落點(diǎn)為B，則小球的初速度v＝_________，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω＝_________。

[審題]小球做的是平拋運(yùn)動(dòng)，在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)，圓盤做了一定角度的圓周運(yùn)動(dòng)。

[解析]①小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上：

h＝gt2

則運(yùn)動(dòng)時(shí)間

t＝

又因?yàn)樗�平位移為R

所以球的速度

v＝＝R·

②在時(shí)間t內(nèi)，盤轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ＝n·2π，又因?yàn)棣龋溅豻

則轉(zhuǎn)盤角速度：

ω＝＝2nπ(n＝1，2，3…)

[總結(jié)]上題中涉及圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)這兩種不同的運(yùn)動(dòng)，這兩種不同運(yùn)動(dòng)規(guī)律在解決同一問(wèn)題時(shí)，常常用“時(shí)間”這一物理量把兩種運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來(lái)。

例6：如圖3-7所示，小球Q在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q球轉(zhuǎn)到圖示位置時(shí)，有另一小球P在距圓周最高點(diǎn)為h處開(kāi)始自由下落.要使兩球在圓周最高點(diǎn)相碰，則Q球的角速度ω應(yīng)滿足什么條件？

[審題]下落的小球P做的是自由落體運(yùn)動(dòng)，小球Q做的是圓周運(yùn)動(dòng)，若要想碰，必須滿足時(shí)間相等這個(gè)條件。

[解析]設(shè)P球自由落體到圓周最高點(diǎn)的時(shí)間為t，由自由落體可得

gt2=h

求得t=

Q球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的時(shí)間也是t，但做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T，有

t=(4n+1)(n=0，1，2，3……)

兩式聯(lián)立再由T=得　 (4n+1)=

所以ω=(4n+1)　 (n=0，1，2，3……)

[總結(jié)]由于圓周運(yùn)動(dòng)每個(gè)周期會(huì)重復(fù)經(jīng)過(guò)同一個(gè)位置，故具有重復(fù)性。在做這類題目時(shí)，應(yīng)該考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性。

(5)豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題：

(1)如上圖3-8所示，沒(méi)有物體支撐的小球，在繩和軌道的約束下，在豎直平面做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況：

①臨界條件：繩子或軌道對(duì)小球沒(méi)有力的做用：mg＝mv臨界＝。

②能過(guò)最高點(diǎn)的條件：v≥，當(dāng)v＞時(shí)，繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力。

③不能過(guò)最高點(diǎn)的條件：v＜v臨界(實(shí)際上球還沒(méi)到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道)

(2)如圖3-9球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕質(zhì)桿對(duì)球產(chǎn)生的彈力情況：

①當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg(FN為支持力)。

②當(dāng)0＜v＜時(shí)，F(xiàn)N隨v增大而減小，且mg＞FN＞0，F(xiàn)N為支持力。

③當(dāng)v＝時(shí)，F(xiàn)N＝0。

④當(dāng)v＞時(shí)，F(xiàn)N為拉力，F(xiàn)N隨v的增大而增大。

如圖所示3-10的小球在軌道的最高點(diǎn)時(shí)，如果v≥此時(shí)將脫離軌道做平拋運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檐壍缹?duì)小球不能產(chǎn)生拉力。

例7：半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖3-11所示。頂部有一小物體甲，今給它一個(gè)水平初速度，則物體甲將(　 )

A．沿球面下滑至M點(diǎn)

B．先沿球面下滑至某點(diǎn)N，然后便離開(kāi)球面作斜下拋運(yùn)動(dòng)

C．按半徑大于R的新的圓弧軌道作圓周運(yùn)動(dòng)

D．立即離開(kāi)半圓球作平拋運(yùn)動(dòng)

[審題]物體在初始位置受豎直向下的重力，因?yàn)関0=，所以，球面支持力為零，又因?yàn)槲矬w在豎直方向向下運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)速率將逐漸增大，若假設(shè)物體能夠沿球面或某一大于R的新的圓弧做圓周運(yùn)動(dòng)，則所需的向心力應(yīng)不斷增大。而重力沿半徑方向的分力逐漸減少，對(duì)以上兩種情況又不能提供其他相應(yīng)的指向圓心的力的作用，故不能提供不斷增大的向心力，所以不能維持圓周運(yùn)動(dòng)。

[解析]物體應(yīng)該立即離開(kāi)半圓球做平拋運(yùn)動(dòng)，故選D。

[總結(jié)]當(dāng)物體到達(dá)最高點(diǎn)，速度等于時(shí)，半圓對(duì)物體的支持力等于零，所以接下來(lái)物體的運(yùn)動(dòng)不會(huì)沿著半圓面，而是做平拋運(yùn)動(dòng)。

(6)圓周運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用

a.定量分析火車轉(zhuǎn)彎的最佳情況。

　①受力分析：如圖所示3-12火車受到的支持力和重力的合力水平指向圓心，成為使火車拐彎的向心力。

②動(dòng)力學(xué)方程：根據(jù)牛頓第二定律得

　mgtanθ＝m

　其中r是轉(zhuǎn)彎處軌道的半徑，是使內(nèi)外軌均不受側(cè)向力的最佳速度。

�、鄯治鼋Y(jié)論：解上述方程可知

　＝rgtanθ

　可見(jiàn)，最佳情況是由、r、θ共同決定的。

　當(dāng)火車實(shí)際速度為v時(shí)，可有三種可能，

　當(dāng)v＝時(shí)，內(nèi)外軌均不受側(cè)向擠壓的力；

　當(dāng)v＞時(shí)，外軌受到側(cè)向擠壓的力(這時(shí)向心力增大，外軌提供一部分力)；

　當(dāng)v＜時(shí)，內(nèi)軌受到側(cè)向擠壓的力(這時(shí)向心力減少，內(nèi)軌抵消一部分力)。

還有一些實(shí)例和這一模型相同，如自行車轉(zhuǎn)彎，高速公路上汽車轉(zhuǎn)彎等等

我們討論的火車轉(zhuǎn)彎問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是物體在水平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從力的角度看其特點(diǎn)是：合外力的方向一定在水平方向上，由于重力方向在豎直方向，因此物體除了重力外，至少再受到一個(gè)力，才有可能使物體產(chǎn)生在水平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．

實(shí)際在修筑鐵路時(shí)，要根據(jù)轉(zhuǎn)彎處的半徑r和規(guī)定的行駛速度v0，適當(dāng)選擇內(nèi)外軌的高度差，使轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力來(lái)提供，如上圖3-12所示.必須注意，雖然內(nèi)外軌有一定的高度差，但火車仍在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上，F(xiàn)=Gtgθ=mgtgθ，故mgtgθ=m。

b.汽車過(guò)拱橋

汽車靜止在橋頂與通過(guò)橋頂是否同種狀態(tài)？不是的，汽車靜止在橋頂、或通過(guò)橋頂，雖然都受到重力和支持力。但前者這兩個(gè)力的合力為零，后者合力不為零。

汽車過(guò)拱橋橋頂?shù)南蛐牧θ绾萎a(chǎn)生？方向如何？汽車在橋頂受到重力和支持力，如圖3-13所示，向心力由二者的合力提供，方向豎直向下。

　 運(yùn)動(dòng)有什么特點(diǎn)？①動(dòng)力學(xué)方程：

　由牛頓第二定律

　G－＝m

解得＝G－m-

�、谄�車處于失重狀態(tài)

　汽車具有豎直向下的加速度，＜mg，對(duì)橋的壓力小于重力．這也是為什么橋一般做成拱形的原因．

�、燮�車在橋頂運(yùn)動(dòng)的最大速度為

根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程可知，當(dāng)汽車行駛速度越大，汽車和橋面的壓力越小，當(dāng)汽車的速度為時(shí)，壓力為零，這是汽車保持在橋頂運(yùn)動(dòng)的最大速度，超過(guò)這個(gè)速度，汽車將飛出橋頂，做平拋運(yùn)動(dòng)。

另：

c．人騎自行車轉(zhuǎn)彎

由于速度較大，人、車要向圓心處傾斜，與豎直方向成φ角，如圖3-14所示，人、車的重力mg與地面的作用力F的合力作為向心力．地面的作用力是地面對(duì)人、車的支持力FN與地面的摩擦力的合力，實(shí)際上仍是地面的摩擦力作為向心力。

由圖知，F(xiàn)向=mgtanφ=m

2．圓錐擺

擺線張力與擺球重力的合力提供擺球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．如圖3-15所示，質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線連接著，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．細(xì)線與豎直方向夾角為α，試分析其角速度ω的大小。

對(duì)小球而言，只受兩個(gè)力：重力mg和線的拉力T．這兩個(gè)力的合力mgtanα提供向心力，半徑r＝Lsinα，所以由F＝mrω2得，mgtanα＝mLsinα·ω2

整理得ω＝

可見(jiàn)，角速度越大，角α也越大。

5、缺少生活經(jīng)驗(yàn)，缺少仔細(xì)觀察事物的經(jīng)歷，很多實(shí)例知道大概卻不能理解本質(zhì)，更不能把物理知識(shí)與生活實(shí)例很好的聯(lián)系起來(lái)。

4、圓周運(yùn)動(dòng)的周期性把握不準(zhǔn)。

3、圓周運(yùn)動(dòng)有一些要求思維長(zhǎng)度較長(zhǎng)的題目，受力分析不按照一定的步驟，漏掉重力或其它力，因?yàn)橐稽c(diǎn)小失誤，導(dǎo)致全盤皆錯(cuò)。

2、圓周運(yùn)動(dòng)線速度與角速度的關(guān)系及速度的合成與分解的綜合知識(shí)應(yīng)用不熟練，只是了解大概，在解題過(guò)程中不能靈活應(yīng)用；

1、對(duì)向心力和向心加速度的定義把握不牢固，解題時(shí)不能靈活的應(yīng)用。

第二節(jié)：寫作(滿分25分)

2008年奧運(yùn)會(huì)剛剛落幕，一家英文報(bào)刊在其網(wǎng)站上征集奧運(yùn)會(huì)后如何綜合利用體育場(chǎng)館的建議。假設(shè)你叫李華，是該報(bào)的一名讀者，請(qǐng)給該報(bào)編輯部寫一封信，談?wù)勀愕慕ㄗh及理由。內(nèi)容包括：

1．向公眾開(kāi)放，用于健身；

2．租給體育公司，創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)效益；

3．開(kāi)辟成旅游景點(diǎn)，吸引游客。

注意：1、詞數(shù)120左右；

2、信的開(kāi)頭和結(jié)尾已給出，不計(jì)入總詞數(shù)。

Dear editor,

　 I’m Li Hua, a reader of your paper.

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Yours faithfully,

Li Hua

聽(tīng)力材料

Text 1

W: You’re going to Chicago tomorrow, aren’t you?

M: Yes, I thought I’d fly, but then I decided that taking a bus would be cheaper than driving or flying.

Text 2

M: Miss, what time is Flight 452 for Boston?

W: It leaves at 3:50 p.m., but you must check in one hour before the plane leaves.

Text 3

W: I hear John had got 605 on the TOEFL test.

M: Really? I got only 537 last time.

Text 4

M: Now what seems to be the trouble, Mrs. Stephen?

W: I’ve been very weak lately, and last night I had some chest pain. Please examine me.

Text 5

M: Excuse me, is it my turn now? I have been waiting for some time.

W: I’m sorry. The doctor is very busy.

Text 6

M: I’m going to the museum this Sunday afternoon. Many beautiful paintings from Europe will be shown there. Do you want to go with me?

W: How I want to go there! But my best friend will get married on Sunday.

M: What a pity! Shall I take some photos of the pictures for you?

W: That’s very kind of you.

Text 7

W: I hope we’ll have a good flight.

M: So do I. I don’t like flying.

W: Are you going on holiday?

M: No, I am traveling on business. I’m a salesman. I work for a computer company.

W: How interesting!

M: And you?

W: I am a physicist. I am going to give some lectures.

M: Really? In English?

W: Yes, of course. Scientists all over the world speak English.

M: Would you like to have a drink?

W: No, thank you.

Text 8

M: Hello, Ms Smith. How do you do?

W: Good afternoon, Mr. Brown. Glad to meet you.

M: Please sit down.

W: Thank you.

M: You told me that you would like to work in our company. Why are you interested in our company?

W: Well, I work in a bank now, but I have long been interested in foreign trade. Your company has a good name, and it is just the type of company I’d like to work in.

M: I see. Do you speak any foreign languages?

W: Yes, I do. I speak German, French and a little Spanish.

M: That’s fine. Did you bring your personal history?

W: Yes, here it is.

M: Good. I think we can take you on. Come here at 9:00 and I’ll introduce you to our president.

W: Thank you.

Text 9

W: How did you feel the first time you talked with a foreigner in English?

M: Nervous. I felt very nervous.

W: Why did you feel nervous?

M: That was many years ago in New York. I was asking a man in the street how to get to the nearest station. I was worried that I might not be able to make myself understood. So I gave every word slowly and clearly.

W: Did he understand you?

M: He nodded and smiled, but did not reply. So I repeated it more slowly.

W: Did he reply this time?

M: Yes, he said as slowly and clearly, “Sorry, I...no...English.”

Text 10

Chinese students celebrate their birthdays in different ways, but the most common way is to hold a birthday party, at which friends get together to drink, sing and dance. On his birthday, one usually receives nice gifts and good wishes from his friends and parents. Sometimes, parents will prepare a special dinner or a cake to show their love for their children.

Since a birthday celebration is one of the important activities in one’s life, it can be done in more meaningful ways. For example, we can buy some flowers or cook a delicious meal for our mothers on that day. In this way, we can express thanks to our parents in return for their love.