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1．一定量的锎(252  98Cf）是有用的中子源，1 mg (252  98Cf）每秒約放出2.34×19⁹個(gè)中子，在醫(yī)學(xué)上常用作治療惡性腫瘤的中子源。下列有關(guān)锎的說法錯(cuò)誤的是

      A．(252  98Cf）原子中，中子數(shù)為154                      B．(252  98Cf）原子中，質(zhì)子數(shù)為98

      C．(252  98Cf）原子中，電子數(shù)為98                        D．锎元素的相對(duì)原子質(zhì)量為252

22. 【解答】(I) 由題意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2， Þ (p－q) (e + ) = 0  

而 e + ≠0，∴ p = q       ………… 2分

(II)  由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x， f’(x) = p + －=

令 h(x) = px ²－2x + p，要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，只需 h(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足h’(x)≤0 恒成立.        ………… 4分

① 當(dāng) p = 0時(shí)， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f’(x) = － < 0，

∴    f (x) 在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞減，故 p = 0適合題意.      ………… 5分

②當(dāng) p < 0時(shí)，h(x) = px ²－2x + p，其圖象為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為 x = Ï (0,+¥)

只需 h(0)≤0，即 p≤0時(shí) h(x)≤0在 (0,+¥) 恒成立.故 p < 0適合題意.       

綜上可得， p≤0  ………… 7分

另解：(II)      由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x， f’(x) = p + －= p (1 + )－…… 4分

要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，只需 f’(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足f’(x)≤0 恒成立.        ………… 5分

由 f’(x)≤0 Û p (1 + )－≤0 Û p≤  Û p≤()_min，x > 0

而 > 0 且 x → 0 時(shí)，→ 0，故 p≤0。綜上可得p≤0       ………… 7分

(III) ∵    g(x) = 在 [1,e] 上是減函數(shù)，∴  x = e 時(shí)，g(x)_min = 2，x = 1 時(shí)，g(x)_max = 2e

即    g(x) Î [2,2e]

① p≤0 時(shí)，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 遞減 Þ f (x)_max = f (1) = 0 < 2，不合題意。       …… 9分

② 0 < p < 1 時(shí)，由x Î [1,e] Þ x－≥0�！�       f (x) = p (x－)－2ln x≤x－－2ln x

右邊為 f (x) 當(dāng) p = 1 時(shí)的表達(dá)式，故在 [1,e] 遞增

∴    f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合題意。       ………… 10分

③ p≥1 時(shí)， f (x) 在 [1,e] 連續(xù)遞增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是減函數(shù)

∴    本命題 Û f (x)_max > g(x)_min = 2，x Î [1,e] Þ f (x)_max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2

 Þ p >     

綜上，p 的取值范圍是 (,+¥) ………… 12分

[1?e, 1……………………………………………………………………………（12分）

（2）當(dāng)0≤a<1時(shí)，若x∈(?∞, a)，則f(x)=a?x+ln(1?x)單調(diào)遞減；若x∈(a, 1)，則f(x)=x?a+ln(1?x), f′(x)=<0，f(x)單調(diào)遞減，又f(x)在x=a處連續(xù)，所以當(dāng)0≤a<1時(shí)，f(x)是減函數(shù)，無極值；………………………………………………………………（4分）

（3）當(dāng)a<0時(shí)，隨著x的變化，f′(x), f(x)的變化情況如下表：

x

(?∞, a)

a

(a, 0)

0

(0, 1)

f′(x)

?

+

0

?

f(x)

ㄋ

ln(1?a)

ㄊ

?a

ㄋ

…………………………………………………………………………………………（7分）

由上表可知，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)有極小值ln(1?a)，有極大值?a．

綜上所述，如果f(x)存在極值，a的取值范圍是(?∞, 0)…………………………（8分）

（Ⅱ）∵f(1?e)=a+e，∴原不等式就是f(x)≤f(1?e)……………………………（10分）

由（Ⅰ）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)是減函數(shù)，∴x≥1?e，又x<1，∴不等式的解集為

（1）當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)=a?x+ln(1?x), f′(x)=?1+<0, f(x)是減函數(shù)，無極值；…………………………………………………………………………………………（2分）

21.【解答】（Ⅰ）f(x)的定義域?yàn)??∞, 1)…………………………………………（1分）

由表可知解得，所以存在實(shí)數(shù)a，使的極大值為3�！�……………………………………………12分

極小

極大