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14．如圖所示，橢圓C：x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（0＜m＜1）的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關于點M對稱．
（Ⅰ）若點P的坐標為（$\frac{7}{5}$，$\frac{4\sqrt{3}}{5}$），求m的值；
（Ⅱ）若橢圓C上存在點M，使得OP⊥OM，求實數(shù)m的取值范圍．

13．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，O為坐標原點．
（1）設動直線L交橢圓E于A、B兩點，且$\overrightarrow{OA}$$⊥\overrightarrow{OB}$
①求證：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$為定值；
②求△OAB的面積的取值范圍．
（2）過M（x₁y₁）的直線l₁：x₁x+2y₁y=8$\sqrt{2}$與過N（x₂，y₂）的直線l₂：x₂x+2y₂y=8$\sqrt{2}$的交點P（x₀，y₀）在橢圓E上，直線MN與橢圓E的兩準線分別交于G、H兩點，求$\overrightarrow{OG}$$•\overrightarrow{OH}$的值．

12．如圖，在棱錐A-BCDE中，平面ABE上平面BCDE，BE⊥AE，BE⊥ED，ED∥BC，BC=BE=EA=2，DE=1．
（I）若F為AB中點，求證：EF∥平面ADC；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AM}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AC}$，求BM與平面ADC所成角的正弦值．

11．設橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1與拋物線C₂：y²=8x的一個交點坐標為（x₀，y₀），直線y=m（0＜m＜|y₀|）與函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2x}（0＜x＜{x}_{0}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{16-{x}^{2}}（4＞x＞{x}_{0}）}\end{array}\right.$的圖象交于A、B兩點，其坐標分別為（x_A，y_A），（x_B，y_B），且x_A＜x_B，點N為拋物線的焦點，求△ABN的周長的取值范圍．

10．如圖，直棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，CA=CB=1，∠ACB=90°，棱AA₁=2，如圖，以C為原點，分別以CA，CB，CC₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系
（1）求平面A₁B₁C的法向量；
（2）求直線AC與平面A₁B₁C夾角的正弦值．

9．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，分別為CD、PB的中點，AE=$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面AEF⊥平面PAB；
（2）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．

8．已知點A，B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上兩點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點，且滿足AF₁∥BF₂，AF₂與BF₁交于點P．記∠AF₁x=α．
（1）求證：|AF₁|=$\frac{^{2}}{a-ccosα}$，|BF₂|=$\frac{^{2}}{a+ccosα}$；
（2）當A，B在橢圓上移動時，求證：動點P的軌跡也是一個橢圓；
（3）將（1）（2）的結(jié)論推廣到雙曲線，并證明你的結(jié)論．

7．設x₁，x₂是函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1的兩個極值點，且x₁＜x₂，a＞0．
（Ⅰ）求證：x₁x₂為定值；
（Ⅱ）求f（x₁）+f（x₂）的取值范圍；
（Ⅲ）求f（x₂）-f（x₁）的最大值．

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
（1）若直線y=kx+2橢圓有兩個交點，求出k的取值范圍；
（2）經(jīng)過橢圓左頂點A的直線交橢圓另一點B，線段AB的垂直平分線上的一點P滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，若P點在y軸上，求出P點的坐標．

5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD對角線的交點．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求直線BC與平面ACC₁A₁所成的角．