Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
（1）若直線y=kx+2橢圓有兩個交點，求出k的取值范圍；
（2）經(jīng)過橢圓左頂點A的直線交橢圓另一點B，線段AB的垂直平分線上的一點P滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，若P點在y軸上，求出P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）若直線y=kx+2與橢圓有兩個交點，則直線y=kx+2代入橢圓方程，利用△＞0，求出k的取值范圍；
（2）分類討論，利用向量的數(shù)量積公式，結合B在橢圓上，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，即可求出P點的坐標．

解答 解：（1）直線y=kx+2代入橢圓方程，
可得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
∵直線y=kx+2與橢圓有兩個交點，
∴△=（16k）²-48（4k²+1）＞0，
∴k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）設P（0，y₀），
①AB⊥y軸，A（-2，0），B（2，0），
則$\overrightarrow{PA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{PB}$=（2，-y₀）
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-4+y₀²=4，
∴y₀=±2$\sqrt{2}$；
②AB與y軸不垂直時，設B（x₁，y₁）（y₁≠0），
AB的中點（$\frac{{x}_{1}-2}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），
則線段AB的垂直平分線方程為y-$\frac{{y}_{1}}{2}$=-$\frac{{x}_{1}+2}{{y}_{1}}$（x-$\frac{{x}_{1}-2}{2}$）
令x=0，則y₀=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4+{{y}_{1}}^{2}}{2{y}_{1}}$=-$\frac{3}{2}$y₁，
∴$\overrightarrow{PA}$=（-2，$\frac{3}{2}$y₀），$\overrightarrow{PB}$=（x₁，$\frac{5}{2}$y₁）
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2x₁+$\frac{15}{4}$y₁²=-2x₁+$\frac{15}{4}$•$\frac{4-{{x}_{1}}^{2}}{4}$=4，
∴x₁=-$\frac{2}{15}$或x₁=-2（舍去），
∴y₁²=$\frac{4-{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{224}{225}$，
∴y₁=±$\frac{4\sqrt{14}}{15}$，
∴y₀=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$，
綜上，P點的坐標為（0，±2$\sqrt{2}$），（0，±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$）．

點評 本題考查橢圓方程的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查向量的數(shù)量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．