Question

12．如圖，在棱錐A-BCDE中，平面ABE上平面BCDE，BE⊥AE，BE⊥ED，ED∥BC，BC=BE=EA=2，DE=1．
（I）若F為AB中點，求證：EF∥平面ADC；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AM}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AC}$，求BM與平面ADC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 判斷得出AE⊥DE，距離坐標系得出$\overrightarrow{AD}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，-2），利用向量的數(shù)量積求解平面ADC的法向量為$\overrightarrow{n}$，
（I）根據(jù)向量的垂直得出$\overrightarrow{EF}$$•\overrightarrow{n}$=（-1）×1+2×0+1×1=0，$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{n}$，利用直線平面的平行證明．
（II）利用向量的數(shù)量積得出sinα=|cos＜$\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$|求解即可．

解答 證明：∵平面DEBC⊥平面ABE且交于BE，BE⊥AE，
∴AE⊥平面BCDE，
∴AE⊥DE，
∵BE⊥AE，BE⊥ED，
∴分別以EB，ED，EA所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖
則A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，1，0），
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，-2），
設平面ADC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y-2z=0}\\{2x+2y-2z=0}\end{array}\right.$
令z=1，y=2，x=-1，
可得$\overrightarrow{n}$=（-1，2，1）
（I）∵F為AB中點，
∴F（1，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1）
∴$\overrightarrow{EF}$$•\overrightarrow{n}$=（-1）×1+2×0+1×1=0，
$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{n}$
∵EF?平面ADC，
∴EF∥平面ADC；
（II）∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AC}$，知M（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$，$\frac{1}{3}$）
設BM與平面ADC所成角為α
sinα=|cos＜$\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$|
=$\frac{|（-\frac{1}{3}）×（-1）+2×\frac{5}{3}+1×\frac{1}{3}|}{\sqrt{3}×\sqrt{6}}$
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

點評 本考查了直線平面得出平行，利用空間向量的運算求解空間角，考查了學生的計算化簡能力，空間思維能力，屬于中檔題．