Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（-2，0）、B（2，0），點(diǎn)C在x軸的上方，且∠ACB=45°，若在給定的直線y=x-3上任取一點(diǎn)P，從點(diǎn)P向圓M引兩條切線，切點(diǎn)分別為E、F．
（1）求△ABC外接圓M的方程；
（2）以PM為直徑的圓是否過(guò)除M外的定點(diǎn)，若過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）直線EF是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題弦AB所對(duì)圓周角為45°，則其所對(duì)的圓心角為90°，則可得半徑r，再由圓心在AB的中垂線即y軸上，得圓心，即可得到圓的方程；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出以PM為直徑的圓的方程，可以判斷出定點(diǎn)；
（3）（x-$\frac{a}{2}$）²+（y-$\frac{a-1}{2}$）²=$（\frac{a}{2}）^{2}$+$（\frac{a-5}{2}）^{2}$，與x²+（y-2）²=8，相減可得直線EF的方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題弦AB所對(duì)圓周角為45°，則其所對(duì)的圓心角為90°，
所以半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
又圓心在AB的中垂線即y軸上，得圓心為（0，2），
所以圓M的方程為x²+（y-2）²=8；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（a，a-3），則以PM為直徑的圓的方程為（x-$\frac{a}{2}$）²+（y-$\frac{a-1}{2}$）²=$（\frac{a}{2}）^{2}$+$（\frac{a-5}{2}）^{2}$，
所以x²+y²+y-6+（-x-y+2）a=0，
所以x²+y²+y-6=0且-x-y+2=0，
所以y=2或y=-$\frac{1}{2}$，
所以x=0或x=$\frac{5}{2}$，
所以以PM為直徑的圓是否過(guò)除M外的定點(diǎn)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）；
（3）（x-$\frac{a}{2}$）²+（y-$\frac{a-1}{2}$）²=$（\frac{a}{2}）^{2}$+$（\frac{a-5}{2}）^{2}$，與x²+（y-2）²=8，
相減可得直線EF的方程為a（-x-y+2）=2-5y，
所以2-5y=0且-x-y+2=0，
所以直線EF過(guò)定點(diǎn)（1.6，0.4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查定點(diǎn)問(wèn)題，注意恒等式的運(yùn)用，屬于中檔題．