Question

6．設(shè)0＜α＜$\frac{π}{2}$，求證：1＜sinα+cosα≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知函數(shù)，由三角函數(shù)區(qū)間的值域可得．

解答 解：化簡(jiǎn)可得sinα+cosα=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα）
=$\sqrt{2}$（sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
即1＜sinα+cosα≤$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的值域，屬基礎(chǔ)題．