Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過(guò)左焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且有$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=2，則橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a的值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 由題意求出直線AB垂直于x軸的a值，然后驗(yàn)證對(duì)過(guò)左焦點(diǎn)的其它直線也滿足$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=2得答案．

解答 解：由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，∴${c}^{2}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，
則$^{2}={a}^{2}-{c}^{2}={a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}=\frac{1}{4}{a}^{2}$，
當(dāng)過(guò)左焦點(diǎn)的直線與x軸垂直時(shí)，|AF|=|BF|=$\frac{^{2}}{a}$，
代入$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=2，得$\frac{2a}{^{2}}=2$，即a=$^{2}={a}^{2}-{c}^{2}=\frac{1}{4}{a}^{2}$，解得：a=4．
此時(shí)橢圓方程為x²+4y²-16=0．
橢圓左焦點(diǎn)F₁（-2$\sqrt{3}，0$），直線AB的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$，
代入橢圓方程得：$（co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ）{t}^{2}-4\sqrt{3}tcosθ-4=0$．
∴${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4\sqrt{3}cosθ}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}，{t}_{1}{t}_{2}=\frac{-4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$．
則$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{|AF|+|BF|}{|AF||BF|}=\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$
=$\frac{\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}cosθ}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}）^{2}+\frac{16}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}}}{\frac{4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}}$=$\frac{\frac{8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}}{\frac{4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}}=2$．
綜上，滿足條件的橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a的值為4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了特值法、驗(yàn)證法在解題中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，是中檔題．